Considere a função f x , y = e x 2 - x y + y 2 .

(a) Indique a direção que determina a maior taxa de crescimento de f no ponto 1,0 . Qual é o valor dessa taxa?

(b) Calcule a derivada direcional de f na direção 1,1 no ponto 1,0 .

(c) Considere a curva r t = 1,0 + t 2 1,1 , t ∈ R , e a função composta g t = f r t . Calcule g ' 0 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, temos uma função f x , y onde

f x , y = e x 2 - x y + y 2

No item a) dessa questão, temos que indicar a direção onde a taxa de crescimento de f é maior no ponto 1,0 .

No item b) vamos obter a derivada direcional no mesmo ponto, mas na direção 1,1 .

E no item c) vamos calcular a derivada de g tal que g t = f r t onde r t = 1,0 + t 2 1,1 .

E aí? Tem alguma ideia de como podemos fazer isso?? 🤔🤔

A derivada direcional de uma função nos mostra a a taxa de variação de uma função em uma certa direção, ou seja, os itens a) e b) vão ser obtidos pelo cálculo da derivada direcional.

Já o item c) pede para a gente calcular a derivada de uma função composta. Sabemos que a derivada de uma função composta é obtida pela regra da cadeia.

Entendeu? Bora começar!

Passo 2

A derivada direcional de uma função é sempre menor ou igual ao gradiente dessa mesma função, ou seja, o maior valor possível será quando a derivada direcional for igual ao seu gradiente.

Dessa forma, temos que calcular o gradiente de f , substituir o ponto 1,0 e obter seu módulo. Veja só!

D f = ∇ f x 0 , y 0

O gradiente de uma função é dado por

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Obtendo as derivadas parciais

∂ f ∂ x = ∂ e x 2 - x y + y 2 ∂ x

Temos uma função composta aqui, então sua derivada é dada pela regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora) substituindo a função interna por uma variável qualquer na derivada de fora.

∂ e x 2 - x y + y 2 ∂ x = ∂ x 2 - x y + y 2 ∂ x · ∂ e u ∂ u

∂ e x 2 - x y + y 2 ∂ x = 2 x - y e u

Substituindo u por x 2 - x y + y 2 de volta

∂ f ∂ x = 2 x - y e x 2 - x y + y 2

Agora obtendo a derivada parcial com relação a y .

∂ f ∂ y = ∂ e x 2 - x y + y 2 ∂ y

Também pela regra da cadeia, vamos obter

∂ e x 2 - x y + y 2 ∂ y = ∂ x 2 - x y + y 2 ∂ y · ∂ e u ∂ u

∂ f ∂ y = 2 y - x e x 2 - x y + y 2

Com isso, nosso gradiente é dado por

∇ f = 2 x - y e x 2 - x y + y 2 , 2 y - x e x 2 - x y + y 2

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Como dito anteriormente, a direção onde f mais cresce é a direção do vetor gradiente.

Então substituindo o ponto 1,0 em ∇ f , temos

D f 1,0 = 2 1 - 0 e 1 2 - 1 0 + 0 2 , 2 0 - 1 e 1 2 - 1 0 + 0 2

D f 1,0 = 2 e , - e

Encontramos a direção, agora queremos saber a taxa de variação.

Então tiramos o módulo do vetor direcional

D f 1,0 = 2 e 2 + - e 2

D f 1,0 = 4 e 2 + e 2

D f 1,0 = 5 e 2

Logo, encontramos a taxa de variação como

D f 1,0 = 5 e

Já no item b) vamos fazer algo parecido, porém na direção do vetor 1,1 .

A primeira coisa a se fazer é escrever o vetor como um vetor unitário, pra isso dividimos ele pelo seu módulo

u = 1,1 ,     u = 1 2 + 1 2

u = 2

u u = 1 2 , 1 2

Agora calculamos o produto interno entre esse vetor e o gradiente de f 1,0 .

D u f 1,0 = 1 2 , 1 2 · 2 e , - e

D u f 1,0 = 2 e 2 - e 2

D u f 1,0 = e 2

Interessante, não é? 😎

Passo 4

Por fim, vamos calcular a derivada de g sendo que g t = f r t

Primeiro vamos escrever f r t

Se

r t = 1,0 + t 2 1,1

r t = 1 + t 2 , t 2

Substituindo em f . x → 1 + t 2 e y → t 2

f r t = e 1 + t 2 2 - 1 + t 2 t 2 + t 2 2

Simplificando o expoente de e , temos

f r t = e 1 + 2 t 2 + t 2 2 - t 2 - t 2 2 + t 2 2

f r t = e 1 + t 2 + t 2 2

Dessa forma, aplicando a regra da cadeia, temos

g ' t = f ' r t = ∂ e 1 + t 2 + t 2 2 ∂ t

∂ e 1 + t 2 + t 2 2 ∂ t = ∂ 1 + t 2 + t 2 2 ∂ t · ∂ e u ∂ u

g ' t = 1 2 + t e 1 + t 2 + t 2 2

Substituindo t por 0 como solicitado no enunciado, temos

g ' 0 = 1 2 + 0 e 1 + 0 2 + 0 2 2

g ' 0 = e 2

Encontramos o mesmo resultado da derivada direcional na direção 1,1 . Perceba a semelhança

Encontramos uma outra forma de calcular a derivada direcional de uma função por equações paramétricas!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

a) D f 1,0 = 2 e , - e , D f 1,0 = 5 e

b) D u f 1,0 = e 2

c) g ' 0 = e 2

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Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. x 2 + x y + y 2 - 3 y = 1 ,e m 1,2
Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )