Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente

Plano Tangente e Reta Normal

Considere a superfície S de equação x + 2 = x y 2 + z x . Se o vetor v = ( a , b , c ) é tangente a S em ( 1,1 , 2 ) , então:

(a) 2 a + 2 b + c = 0

(b) 2 a + 2 b + c = 1

(c) 2 a + 2 b - c = 0

(d) 3 a + 2 b + c = 2

(e) a + 3 b + 2 c = 0

Passo 1

Vamos primeiro deixar a equação da superfície bonitinha, jogando tudo pra um lado e deixando 0 do outro:

x + 2 = x y 2 + z x

⇒     x y 2 + z x - x - 2 = 0

Agora podemos definir f x , y , z = x y 2 + z x - x - 2

Assim, a equação de S é:

f x , y , z = 0

Show! Mas pra que fizemos isso?

Bem, a gente já tem um vetor tangente a S no ponto ( 1,1 , 2 ) , certo? Outro vetor que pode ser interessante é o vetor normal a S nesse ponto. E vetor normal a gente sabe que tem a ver com o gradiente. Justamente, nessa superfície, nesse ponto, o vetor normal vai ser nada mais que ∇ f ( 1,1 , 2 ) ! E o vetor tangente e o vetor normal são perpendiculares, ou seja:

∇ f 1,1 , 2 ⊥ v

E pelas propriedades do produto escalar:

∇ f 1,1 , 2 ⋅ v = 0

E essa é a chave pra resolver a questão!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos calcular esse gradiente!

∂ f ∂ x x , y , z = y 2 + z - 1 - 0

∂ f ∂ y x , y , z = 2 x y + 0 - 0 - 0

∂ f ∂ z x , y , z = 0 + x - 0 - 0

O gradiente vai ser:

∇ f x , y , z = ( y 2 + z - 1 ,   2 x y ,   x )

E em ( 1,1 , 2 ) , que é o ponto que nos interessa:

∇ f 1,1 , 2 = 1 + 2 - 1 ,   2.1 . 1 ,   1 = ( 2,2 , 1 )

Passo 3

Excelente! Fazendo o produto escalar, vamos ter:

2,2 , 1 ⋅ a , b , c = 0

⇒ 2 a + 2 b + c = 0

Resposta

Alternativa (a)

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