Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente

Determine a curva de nível de

f x , y = 9 x 2 + y 2

Que seja tangente à curva descrita por

x y = 1

x > 0

y > 0

Qual o ponto de tangencia?

Passo 1

Queremos saber qual o ponto em que a curva descrita por essa função

f x , y = 9 x 2 + y 2

É tangente à curva descrita por essa outra função

x y = 1 ⇒ g x , y = x y - 1 = 0

Em outras palavras, em que ponto essa primeira curva encosta nessa segunda curva.

Para descobrir isso, vamos começar encontrando os vetores perpendiculares às duas curvas, que são nada mais nada menos que seus vetores gradientes.

Assim, o vetor gradiente da primeira curva é o vetor

∇ f = ( 18 x , 2 y )

E o vetor gradiente da segunda curva é o vetor

∇ g = ( y , x )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que temos os vetores perpendiculares às duas curvas, vamos dizer que esses dois vetores são paralelos, já que queremos que as curvas sejam tangentes. Assim,

∇ f = λ ∇ g

18 x , 2 y = λ ( y , x )

Igualando as coordenadas:

18 x = λ y

2 y = λ x

Isolando o λ nas duas equações:

λ = 18 x y

λ = 2 y x

Assim

18 x y = 2 y x

E daí tiramos que

18 x 2 = 2 y 2

9 x 2 = y 2

Passo 3

Beleza, e agora o que que a gente faz com isso?

Bom, a gente sabe do enunciado que o nosso ponto de tangencia tem que satisfazer

x y = 1

Então porque que a gente não isola uma das variáveis, sei lá, o x , e substitui isso naquele resultado que encontramos alí no passo 2?

Vamos tentar?

x = 1 y

Substituindo em 9 x 2 = y 2 :

9 1 y 2 = y 2

9 = y 4

y = 9 4 = 3 2 4 = 3 2 4 = 3 1 2 = 3

E agora que achamos um valor para y , podemos achar um valor para x , já que

x = 1 y

Assim

x = 1 3 = 3 3

Passo 4

O ponto de tangencia é, portanto,

P = 3 3 , 3

E a curva de nível é dada por

f 3 3 , 3 = 9 3 3 2 + 3 2 = 9 ∙ 3 9 + 3 = 6

Ou seja,

f x , y = 9 x 2 + y 2 = 6

Resposta

O ponto de tangencia é

P = 3 3 , 3

E a curva de nível é

f x , y = 9 x 2 + y 2 = 6

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