Seja f x , y = a y 2 - 2 b y c o s x , onde a e b são constantes reais. Que condições devem satisfazer as constantes a e b para que 0,1 seja um ponto de mínimo relativo de f x , y ? Justifique.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão temos uma função f x , y =   a y 2 - 2 b y c o s x e temos que definir valores para a e b que fazem o ponto 0 , 1 ser um ponto mínimo relativo de f .

Tem ideia de como fazemos isso?? 👀

Vamos começar lembrando o que é um ponto mínimo relativo de uma função. Calculando o vetor gradiente de f e igualando a um vetor nulo, vamos obter um sistema de duas equações.

A solução dessas duas equações são os possíveis pontos de máximos ou de mínimo, ou seja, são os pontos críticos.

Não queremos todos os pontos, queremos apenas saber do ponto 1,0 . Para calssificar o ponto, calculamos a segunda derivada de f com relação a x e se aplicamos as coordenadas do ponto se resultar em um numero positivo, o ponto é um ponto de mínimo.

Entendeu? Bora verificar essa teoria! 😎

Passo 2

Primeiro calculamos o gradiente de f , dado por

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Derivando f com relação a x , temos

∂ f ∂ x = ∂ a y 2 - 2 b y c o s x ∂ x

Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de c o s = - s e n

∂ f ∂ x = 2 b y s e n x

Agora derivando f com relação a y

∂ f ∂ y = ∂ a y 2 - 2 b y c o s x ∂ y

Pelo método da derivação polinomial onde subtraímos 1 do expoente e multiplicamos a variável pela sua potência.

∂ f ∂ y = 2 a y 2 - 1 - 2 b y 1 - 1 c o s x = 2 a y - 2 b c o s x

Com isso, nosso gradiente de f é

∇ f x , y = 2 b y s e n x , 2 a y - 2 b c o s x = 0,0

Igualando ao vetor nulo, vamos obter o sistema

2 b y s e n x = 0 2 a y - 2 b c o s x = 0

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Queremos forçar 0 , 1 a ser um ponto crítico, então

2 b 1 s e n 0 = 0 2 a 1 - 2 b c o s 0 = 0

0 = 0 2 a - 2 b = 0

Simplificando a segunda equação, temos que

a = b

Agora vamos calcular a segunda derivada de f com relação a x

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ 2 b y s e n x ∂ x

Pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que a derivada de s e n = c o s

∂ 2 f ∂ x 2 = 2 b y c o s x

Se esse resultado for maior que 0 , o ponto 0,1 é um ponto de mínimo da função.

2 b y c o s x > 0

Aplicando as coordenadas do ponto 0,1

2 b 1 c o s 0 > 0

2 b > 0

Ou seja, encontramos que

a = b > 0

a deve ser igual a b e ambos devem ser maiores que 0 !

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

a = b > 0

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a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .
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Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
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Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )