Enunciado

A temperatura é T ( x , y ) medido em graus em qualquer ponto da placa retangular situado no plano x y e T x , y = 4 x 2 + 3 x y . A distância é medida em metros. Assinale a alternativa correta que determine a taxa de variação máxima no ponto ( 2 , - 3 ) e a direção e sentido em que a taxa de variação é máxima em ( 2 , - 3 ) .

a ) a taxa de variação correspondente a 9,22 e a taxa máxima de T ocorre na direção e sentido do ∇ T 2 , - 3 = 7   i → + 6   j →

b ) a taxa de variação correspondente a 5,22 e a taxa máxima de T ocorre na direção e sentido do ∇ T 2 , - 3 = 12   i → + 8   j →

c ) a taxa de variação correspondente a 9,22 e a taxa máxima de T ocorre na direção e sentido da derivada direcional

d ) a taxa de variação correspondente a 3,22 e a taxa máxima de T ocorre na direção e sentido do ∇ T 2 , - 3 = - 3   i → + 12   j →

Passo 1

Eaew, belezinha?

Saca só, o enunciado nos dá uma distribuição da temperatura sobre uma placa colocada sobre o plano x y , a distribuição da temperatura é tal que T x , y = 4 x 2 + 3 x y . Ele pede a taxa de variação máxima e a direção na qual ela ocorre. Para obter ambas informações precisamos calcular o seguinte

∇ T x , y = ∂ T x , y ∂ x , ∂ T ( x , y ) ∂ y

Que é o vetor gradiente, e cuja direção indica a direção de maior crescimento. E com o seu módulo, temos a taxa de variação máxima, calculada como

∇ T x , y = ∂ T ( x , y ) ∂ x 2 + ∂ T ( x , y ) ∂ y 2

Note que aqui está tudo em termos das variáveis x , y , mas, queremos avaliar no ponto específico P = ( 2 , - 3 ) . Vamos fazer isso agora com calma! Vem comigo!

Passo 2

Usando que T x , y = 4 x 2 + 3 x y , temos que

∂ T x , y ∂ x = ∂ ∂ x 4 x 2 + 3 x y = 8 x + 3 y

E, agora calculando a componente

∂ T x , y ∂ y = ∂ ∂ y 4 x 2 + 3 x y = 3 x

E o nosso vetor gradiente é da forma

∇ T x , y = 8 x + 3 y , 3 x

E no ponto desejado temos ∇ T 2 , - 3 = 8 ( 2 ) + 3 ( - 3 ) , 3 ( 2 ) = 7,6 . Ou seja, só mudando a notação, temos que o nosso vetor gradiente tem direção ∇ T 2 , - 3 = 7   i → + 6   j → . Agora é só calcular o seu módulo!

Passo 3

Para o módulo, temos

∇ T 2 , - 3 = 7 2 + 6 2 = 49 + 36

Somando e tirando a raiz, temos que

∇ T 2 , - 3 ≈ 9,22

Ou seja, a direção de maior crescimento é ∇ T 2 , - 3 = 7   i → + 6   j → e a taxa máxima de variação é ∇ T 2 , - 3 ≈ 9,22 , como indicado na alternativa a ) Portanto, temos que as afirmações são VFFF! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

VFFF

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