Sejam f   : R 2 → R uma função diferenciável e γ t = t ,   2 t 2 , t 2 , t   ϵ   R , uma curva cuja imagem está contida no gráfico f. Seja r a reta tangente à curva de nível 4 de f no ponto ( 2,8 ) . Sabendo que a reta r contém o ponto ( 1 ,   - 4 ) determine o vetor gradiente de f no ponto ( 2,8 ) e a equação de plano tangente ao gráfico de f no ponto 2,8 , f 2,8 .

Passo 1

Olá meu amigo, Yuri aqui e iremos dar início a nossa resolução. Organizando tudo o que temos

  • Uma função não especificada f x , y
  • Uma curva γ ( t ) que está contida na superfície formada por f x , y
  • E uma reta, que sabemos que é tangente a curva de nível 4 no ponto ( 2,8 ) e também passa pelo ponto 1 , - 4

e com essas informações, temos que encontrar o vetor gradiente de f x , y no ponto ( 2,8 ) .

Passo 2

Temos dois pontos que passam pela reta r. Então vamos encontrar um vetor diretor dela, fazendo a diferença entre os pontos.

v → = 2,8 - 1 , - 4

v → = 1,12

Como o gradiente da função f ( x , y ) é dado pelo vetor normal à superfície, temos, por consequência, que ele é perpendicular a esse vetor encontrado(pois o v → é tangente a superfície).

Assim, se a gente rotacionar o vetor v → que encontramos em 90 graus, ele será paralelo ao vetor gradiente, e ficará na mesma linha. Assim podemos pegar o vetor v → = 1,12 e fazer:

v → = 1,12 + 90 º = 12 , - 1

E finalmente agora que o vetor v → e o ∇ F ( x , y ) são colineares, podemos escrever para o ponto 2,8 :

∇ F 2,8 = k ( 12 , - 1 )

Ou seja, são multiplos

Passo 3

Vamos agora dar uma olhada para a curva γ t . Sabemos que ela está contida na superfície f x , y . Então podemos dizer que

γ t = t , 2 t 2 , t 2

e outra informação importante é que

f x , z = z

Sendo assim

f t , 2 t 2 = t 2

Agora para z = 4

f 2,8 = 4

f t , 2 t 2 = t 2

t = 2  

Passo 4

E agora só precisamos de mais uma relação, que envolva a função f x , y e a curva γ t . Iremos utilizar a regra da cadeia para isso:

∇ f ∙ σ ' t = d t d t

Assim, como f t , 2 t 2 = t 2 , ∇ F 2,8 = k 12 , - 1 e t = 2 , só precisamos então calcular a derivada dessa curva para t = 2 .

γ t = t , 2 t 2 , t 2

σ ' t = 1,4 t , 2 t

Para t = 2

σ ' t = 1,8 , 4

Agora resolvendo a equação

∇ f ∙ σ ' t = d t d t

∇ F 2,8 = k 12 , - 1

σ ' t = 1,8 , 4

E

f t , 2 t 2 = t 2

Teremos

k 12 , - 1 ∙ 1,8 , 4 = 2 t

Para t = 2

k 12 , - 1 1,8 , 4 = 4

12 k - k 8 + 0 = 4

k = 1

Passo 5

Agora que temos o valor de k, é só voltarmos para a equação do vetor gradiente com o vetor diretor da reta:

∇ F 2,8 = k ∙ 12 , - 1

Com k = 1

∇ F 2,8 = 12 , - 1

Agora iremos encontrar a equação do plano tangente.

Como sabemos, f 2,8 ,   f 2,8 é f 2,8 , 4 , porque a curva tem o nível 4 com o t = 2 .

Agora que sabemos o vetor gradiente nesse ponto ( ∇ F 2,8 = ∂ f 2,8 ∂ x , ∂ f 2,8 ∂ y = 12 , - 1 , basta usarmos a equação do plano tangente para esse vetor.

∂ f x 0 , y 0 ∂ x x - x 0 + ∂ f x 0 , y 0 ∂ y y - y 0 = z - z 0

Agora sim, substituindo os dados

∇ F 2,8 = 12 , - 1

f 2,8 = 4

12 x - 2 - 1 y - 8 = z - 4

12 x - y - z = 12

Resposta

z = 12 x - y - 12

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a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .
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Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. x 2 + x y + y 2 - 3 y = 1 ,e m 1,2
Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )