Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por

V ( x , y , z )   =   e z 1 + x ² + y ²

c) Qual a taxa máxima de variação em P (−1, −1, 1)?

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão define uma função escalar que, para cada ponto do espaço tridimensional com coordenadas (x, y, z) nos retorna o potencial elétrico. Sendo assim, podemos calcular a variação dessa função através do vetor gradiente, definido como:

∇ f ( x , y , z ) = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y ,   ∂ f ∂ z

Esse vetor, em cada ponto do espaço, nos aponta a direção espacial de maior variação da função V(x,y,z) no ponto em questão. Como o enunciado quer que a gente calcule a taxa máxima de variação em P(-1, -1, 1) e, como a direção de maior variação é a direção do próprio vetor gradiente, para calcular a taxa máxima de variação só precisamos calcular a projeção do gradiente ao longo da direção definida por ele: em outras palavras, o produto escalar do gradiente com um vetor unitário que aponte na mesma direção dele!

Para determinar o gradiente no ponto (-1, -1, 1), precisaremos calcular as derivadas parciais. Então, primeiro, vamos derivar o potencial!

Passo 2

Calculando a derivada de V(x,y,z) em relação à x, considerando y e z como constantes e utilizando a regra da cadeia, obtemos

∂ ∂ x e z 1 + x ² + y ² = ∂ ∂ x e z ( 1 + x ² + y ² ) ⁻ ¹ = - e z ( 1 + x ² + y ² ) ² × 2 x

No ponto (-1, -1, 1), essa derivada assume o valor - e ( 1 + ( - 1 ) ² + ( - 1 ) ² ) ² × 2 ( - 1 ) = 2 e 9 . Agora, calculando a derivada de V em relação à y, considerando dessa vez x e z como constantes, obtemos:

∂ ∂ y e z 1 + x ² + y ² = ∂ ∂ y e z ( 1 + x ² + y ² ) ⁻ ¹ = - e z ( 1 + x ² + y ² ) ² × 2 y

No ponto (-1, -1, 1), a derivada em relação à y assume o mesmo valor acima: - e ( 1 + ( - 1 ) ² + ( - 1 ) ² ) ² × 2 ( - 1 ) = 2 e 9 . Agora, só precisamos derivar em relação à z: Como x e y são constantes durante essa derivação, e como a derivada da exponencial é ela mesma, temos que a derivada é igual à própria função:

∂ ∂ z e z 1 + x ² + y ² = 1 1 + x ² + y ² ∂ ∂ z e z = e z 1 + x ² + y ²

No ponto (-1, -1, 1), essa derivada assume o valor e 1 1 + ( - 1 ) ² + ( - 1 ) ² = e 3 . Então, no ponto (-1, -1, 1), o vetor gradiente é descrito pelas componentes

∇ f ( - 1 , - 1,1 ) = 2 e 9 , 2 e 9 ,   e 3

Como o vetor gradiente é o vetor que dá a direção de maior variação da função, temos que, no ponto (-1, -1, 1), a direção de maior variação do potencial é na direção do vetor 2 e 9 , 2 e 9 ,   e 3 .

Agora, para calcular a variação máxima, vamos precisar fazer o produto escalar do gradiente com um vetor unitário. Bora lá então.

Passo 3

Podemos definir um vetor u que tenha a mesma direção do gradiente, mas que seja unitário. Como o módulo do gradiente é dado por

∇ f ( - 1 , - 1,1 ) ⋅ ∇ f ( - 1 , - 1,1 ) = 2 e 9 ² + 2 e 9 ² + e 3 ² = 17 e 9

Podemos definir o vetor unitário u como tendo as componentes do gradiente divididas pelo valor acima

u = 9 17 e 2 e 9 , 2 e 9 ,   e 3 = 2 17 , 2 17 ,   3 17

Então, fazendo o produto interno de ∇ f com u, obtemos a variação máxima, dada por

2 e 9 × 2 17 +   2 e 9 × 2 17 + e 3 × 3 17 = 8 e 9 17 + e 17 = 17 e 9 17

Resposta

17 e 9 17

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a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .
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Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. x 2 + x y + y 2 - 3 y = 1 ,e m 1,2
Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )