O potencial numa lâmina plana é dado por V x , y = 80 - 20 x e - x 2 + y 2 20 em volts.

b) Determine a direção e a taxa na qual o potencial eleva-se mais rapidamente no ponto (1,2).

Passo 1

O problema nos pede para dizer a direção e a taxa na qual o potencial cresce mais rapidamente. Ora, em qualquer função o vetor gradiente aponta na direção de maior crescimento da função! Então é ele que a gente precisa calcular. Vamos calcular o gradiente desse cara aqui

f x , y = V x ,   y = 80 - 20 x e - x 2 + y 2 20    

Lembrando que o vetor gradiente é um vetor que tem como componentes as derivadas parciais da função

∇ f x , y = f x ,   f y

Precisamos calcular essas derivadas parciais. Temos então

f x x , y =   - 20   e - x 2 + y 2 20 + 2   x 2 e - x 2 + y 2 20

f y x , y =   - 2   x y   e - x 2 + y 2 20

Vamos calcular agora essas derivadas no ponto P 0 = ( 1,2 )

f x 1,1 =   - 20   e - 1 + 2 2 20 + 2   e - 1 + 2 2 20 =   - 18   e 3 20

f y 1,1 =   - 2.1 . 2   e - 1 + 2 2 20 =   - 4   e 3 20

Então temos

∇ f P 0 = - 18   e 3 20 ,   - 4   e 3 20

Passo 2

Quando nos pedem a direção de algum vetor, normalmente estamos falando do vetor unitário associado àquele vetor. O vetor associado à direção de maior crescimento a gente calculou como

u = ∇ f P 0 = - 18   e 3 20 ,   - 4   e 3 20

Para a gente calcular o vetor unitário associado a esse vetor, precisamos calcular seu módulo u e usar a expressão

û = u u

O módulo do nosso vetor é

u = - 18   e 3 20 2 + - 4     e 3 20 2       u = e 6 20 324 + 16   u = 2 e 3 20 85  

Agora a gente pode calcular o vetor unitário como

û = u u

û = - 18   e 3 20 ,   - 4   e 3 20 2 e 3 20 85  

û =   -   9 85 ,   -   4 85

Passo 3

A taxa máxima que o exercício nos pede é simplesmente o módulo do vetor gradiente

∇ f P 0 = - 18   e 3 20 2 + - 4     e 3 20 2       ∇ f P 0 =   e 6 20 324 + 16 ∇ f P 0 =   2 e 3 20 85

Resposta

û =   -   9 85 ,   -   4 85

∇ f P 0 =   2 e 3 20 85

Exercícios de Livros Relacionados

a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:c) z = s e n( 3 x + y ) ; P 0 , π 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. x 2 + x y + y 2 - 3 y = 1 ,e m 1,2
Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )