Ache o gradiente das seguintes funções abaixo:

b) f x ,   y = x 2 ln ⁡ ( y )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o vetor gradiente, que nada mais é do que o vetor normal à superfície de nível da função.

Pra calcular o vetor gradiente, tudo que a gente precisa fazer é calcular as derivadas parcias da função e coloca-las num vetor. Assim, vamos ter a derivada parcial em relação a x na componente x e a derivada parcial em relação a y na componente y , ou seja:

∇ f x ,   y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Vamos lá!

Passo 2

Para f x ,   y = x 2 ln ⁡ ( y ) , vamos calcular a derivada parcial em relação a x (tratando y como constante):

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x 2 ln ⁡ ( y ) = 2 x ln ⁡ ( y )

Calculando a derivada parcial em relação a y (tratando x como constante), temos:

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x 2 ln ⁡ ( y )

= x 2 ∂ ∂ y ln ⁡ ( y ) = x 2 y

Agora basta juntar tudo no vetor gradiente:

∇ f x ,   y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

∇ f x ,   y = 2 x ln ⁡ ( y ) ,   x 2 y

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∇ f x ,   y = 2 x ln ⁡ ( y ) ,   x 2 y

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