Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente

  1. Afigura mostra uma porção de um mapa da região Sul de Minas Gerais onde estão indicadas as curvas de nível da função altura h com relação ao nível do mar. Existe uma linha grossa para cada 100   m de elevação e uma linha fina em cada intervalo de 20   m . Considere os pontos A ,   B ,   C , D e E no mapa. As setas indicam o vetor gradiente de h no ponto indicado. Diga se as relações abaixo são verdadeiras ou não, marcando um “V” se a relação for verdadeira ou um “F” se a relação for falsa.

( ) h C > h E

( ) h A > h C

( ) ∂ h A ∂ x > 0

( ) ∂ h A ∂ y > 0

( ) ∂ h B ∂ x < 0

( ) ∂ h B ∂ y < 0

( ) ∂ h D ∂ x > 0

( ) ∂ h E ∂ x < 0

( ) ∂ h A ∂ x > ∂ h E ∂ x  

( ) ∂ h B ∂ x > ∂ h D ∂ x

Passo 1

Vamos analisar h C > h E :

Perceba que a linha grossa em que o ponto C se encontra é a mesma que o ponto E está. Portanto, h C = h E = 1100   m .

Portanto a alternativa é falsa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Verificar: h A > h C

Da figura, percebemos que h A =   1200   m . Já vimos no passo anterior que h C = 1100   m , portanto a alternativa é verdadeira.

Passo 3

Analisar: ∂ h A ∂ x > 0

O vetor gradiente de h é representado na figura. No ponto A , o vetor gradiente tem componentes: ∇ h A = ∂ h A ∂ x , ∂ h A ∂ y

Agora perceba pela figura que no ponto A , o vetor gradiente aponta para a esquerda, o que significa que a componente x do vetor gradiente no ponto A é negativa. Então: ∂ h A ∂ x < 0 .

Logo a afirmativa é falsa.

Passo 4

∂ h A ∂ y > 0

Sabemos que ∇ h A = ∂ h A ∂ x , ∂ h A ∂ y

Perceba na figura que a componente y do vetor gradiente no ponto A é positiva pois o vetor aponta para cima. Logo ∂ h A ∂ y > 0

Alternatiiva verdadeira.

Passo 5

∂ h B ∂ x < 0

O vetor gradiente é dado por ∇ h B = ∂ h B ∂ x , ∂ h B ∂ y .

Pela figura, o vetor gradiente no ponto B aponta para a esquerda. Então ∂ h B ∂ x < 0 .

Item verdadeiro.

Passo 6

∂ h B ∂ y < 0

Perceba graficamente que o vetor gradiente no ponto B aponta para cima. Logo, ∂ h B ∂ y > 0 .

Falso.

Passo 7

∂ h D ∂ x > 0

Pela figura, é possível perceber que o vetor gradiente em B aponta para a direita. Logo ∂ h D ∂ x > 0 .

Verdadeiro

Passo 8

∂ h E ∂ x < 0

Graficamente, percebemos que o vetor gradiente no ponto E aponta para a esquerda. Então ∂ h E ∂ x < 0 .

Verdadeiro.

Passo 9

∂ h A ∂ x > ∂ h E ∂ x

Primeiramente, perceba que os dois vetores gradientes, em A e em E , são negativos pois apontam para a esquerda.

Agora, note que o vetor gradiente em A está mais inclinado, mais “deitado” do que o vetor gradiente em E . Isso nos diz que a componente x do vetor gradiente em A é maior do que em E , em módulo.

Porém como ambos são negativos, a componente x do vetor gradiente em E é maior do que em A . Logo ∂ h A ∂ x < ∂ h E ∂ x

Alternativa falsa.

Passo 10

∂ h B ∂ x > ∂ h D ∂ x

Já vimos que em B a componente x do vetor gradiente é negativa, ou seja, ∂ h B ∂ x < 0 . Além disso, vimos também que a componente x do vetor gradiente em D é positiva, ou seja, ∂ h D ∂ x > 0 .

Logo:

∂ h B ∂ x < ∂ h D ∂ x

Item falso.

Resposta

(F)

(V)

(F)

(V)

(V)

(F)

(V)

(V)

(F)

(F)

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