3 – Considere a função f x , y = x y .

d) A função f é harmônica? Isto é, ∇ 2 f x , y = 0 ?

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, estamos interessados em saber se a função f é harmônica.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

No próprio enunciado já foi dada uma dica que diz que se a função f é harmônica, ∇ 2 f x , y = 0 . Mas que operador é esse? 👀

Esse operador ∇ 2 é chamado de laplaciano e ele é como se fosse um gradiente de segunda ordem, ou seja

∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ x 2 , ∂ 2 f ∂ y 2

Sacou?

Passo 2

Derivando f com relação a x , temos

∂ f ∂ x = ∂ x y ∂ x = y

Derivando novamente com relação a x , temos

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ y ∂ x = 0

Fazendo o mesmo para y , vamos obter

∂ f ∂ y = ∂ x y ∂ y = x

∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ x ∂ y = 0

Com isso, vemos que o laplaciano de f é

∇ 2 f = 0,0

Ou seja, f é sim uma função harmônica!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∇ 2 f = 0,0

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