Ache o gradiente das seguintes funções abaixo:

d) f x ,   y ,   z = y 2 e x y z

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o vetor gradiente, que nada mais é do que o vetor normal à superfície de nível da função.

Pra calcular o vetor gradiente, tudo que a gente precisa fazer é calcular as derivadas parcias da função e coloca-las num vetor. Assim, vamos ter a derivada parcial em relação a x na componente x , a derivada parcial em relação a y na componente y e a derivada parcial em relação a z na componente z do vetor. Ou seja:

∇ f x ,   y ,   z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ,   ∂ f ∂ z

Vamos lá!

Passo 2

Para f x ,   y ,   z = y 2 e x y z , vamos calcular a derivada parcial em relação a x (tratando y e z como constantes):

Usando a regra da Cadeia, temos:

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x y 2 e x y z = y 2 y z e x y z

= y 3 z e x y z

Agora vamos calcular a derivada parcial em relação a y (tratando x e z como constantes), usando a regra do produto para derivadas:

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y y 2 e x y z

= 2 y e x y z + x z e x y z y 2 = 2 y e x y z + x y 2 z e x y z

E, por último, a derivada parcial em relação a z (tratando x e y como constantes), temos:

∂ f ∂ z = ∂ ∂ z y 2 e x y z

= y 2 x y e x y z = x y 3 e x y z

Agora basta juntar tudo no vetor gradiente:

∇ f x ,   y ,   z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ,   ∂ f ∂ z

∇ f x ,   y ,   z = y 3 z e x y z ,   2 y e x y z + x y 2 z e x y z , x y 3 e x y z  

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∇ f x ,   y ,   z = y 3 z e x y z ,   2 y e x y z + x y 2 z e x y z , x y 3 e x y z  

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a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:c) z = s e n( 3 x + y ) ; P 0 , π 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. x 2 + x y + y 2 - 3 y = 1 ,e m 1,2
Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )