Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente

Origem do Exercício

Dado a função f x , y , z = x 2 - 3 4 y 3 - sen ⁡ z , o gradiente para todo ( x , y , z ) é:

  1. ∇ f = x 3 3 , - 3 16 y 4 , cos ⁡ z
  2. ∇ f = 2 x , - 9 4 y 2 , - cos ⁡ z
  3. ∇ f = x 3 3 , - 3 16 y 4 , - cos ⁡ z
  4. ∇ f = - 2 x , 9 4 y 2 , - cos ⁡ z
  5. ∇ f = 2 x , - 3 4 y 2 , - cos ⁡ z

Passo 1

Vamos lembrar da fórmula para calcular o gradiente de uma função:

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Lembre-se: o gradiente é um vetor, mas a função f é um escalar.

Agora vamos calcular essas derivadas parciais.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando pela derivada parcial de f em relação a x :

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x 2 - 3 4 y 3 - sen ⁡ z = ∂ ∂ x x 2 - ∂ ∂ x 3 4 y 3 - ∂ ∂ x sen ⁡ z

Nesse caso, podemos pensar em y e z como se fossem constantes, e então suas derivadas são nulas.

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x 2 = 2 x

Fazendo um procedimento quase igual, podemos calcular a derivada parcial em relação a y :

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x 2 - 3 4 y 3 - sen ⁡ z = ∂ ∂ y x 2 - ∂ ∂ y 3 4 y 3 - ∂ ∂ y sen ⁡ z

∂ f ∂ y = - ∂ ∂ y 3 4 y 3 = - 9 4 y 2

E agora a derivada em relação a z :

∂ f ∂ z = ∂ ∂ z x 2 - 3 4 y 3 - sen ⁡ z = ∂ ∂ z x 2 - ∂ ∂ z 3 4 y 3 - ∂ ∂ z sen ⁡ z

∂ f ∂ z = - ∂ ∂ z sen ⁡ z = - c o s ⁡ ( z )

Passo 3

Agora podemos substituir esses resultados na fórmula para achar o gradiente:

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

∇ f = 2 x i - 9 4 y 2 j - c o s ⁡ ( z ) k

Pronto!

Resposta

Letra (b).

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas