Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente

Origem do Exercício

Considere T x , y , z = 20 - x 2 - y 2 - z 2 uma distribuição de temperatura em uma região do espaço. Uma partícula A localziada em A ( 2,3 , 5 ) precisa esquentar rapidamente. Outra partícula B ( 0 , - 1,0 ) precisa resfriar-se o mais rápido possível. Qual é a taxa máxima de descrescimento da temperatura em B .

Passo 1

Sempre que você ouvir o termo “taxa máxima”, seja de descrecimento ou de crescimento, pense imediatamente no vetor gradiente, pois é pra isso que ele serve!

O vetor gradiente de um campo escalar te dá a direção em que o valor do campo auemnta mais rapidamente! E o módulo desse gradiente te dá a taxa com que essa mudança ocorre.

Então vamos nos lembrar da fórmula para o vetor gradiente:

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Precisamos calcular três derivadas parciais!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começamos pela derivada em relação a x :

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 20 - x 2 - y 2 - z 2 = 0 - ∂ ∂ x x 2 - 0 - 0

∂ f ∂ x = - 2 x

E agora em relação a y :

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 20 - x 2 - y 2 - z 2 = 0 - 0 - ∂ ∂ y y 2 - 0

∂ f ∂ y = - 2 y

E, por último, em relação a z :

∂ f ∂ z = ∂ ∂ z 20 - x 2 - y 2 - z 2 = 0 - 0 - 0 - ∂ ∂ z z 2

∂ f ∂ y = - 2 z

Ou seja, o vetor gradiente é:

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

∇ f = - 2 x i + - 2 y j + - 2 z k

Passo 3

Nessa questão, queremos saber a taxa máxima de Decrescimento do campo no ponto B ( 0 , - 1,0 ) .

Como o módulo ∇ f do vetor gradiente é a taxa máxima de crescimento, o negativo desse módulo será a taxa mínima de crescimento. Essa taxa correponde a um “passo” na direção oposta àquela em que o vetor ∇ f aponta!

O vetor gradiente no ponto ( 0 , - 1,0 ) é:

∇ f = - 2 ( 0 ) i + - 2 ( - 1 ) j + - 2 ( 0 ) k

∇ f = 2 j

E o módulo desse vetor é:

∇ f = 2 2 = 2

Ou seja, a taxa mínima de crescimento é - 2 , o que equivale a dizer que a taxa máxima de decrescimento é 2 .

Obs.: Se isso ficar confuso, pense que não faz sentido a taxa de decrescimento ser negativa quando a função está “decrescendo”.

Resposta

A taxa máxima de decrescimento em B é 2 .

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