Questão 4 – Considere a função H x , y , z = G 2 x 2 + y z , x y - y z , x y z 1 3 , x - 1 , onde G : R 4 → R é uma função diferenciável.

(a) Sabendo que ∇ G 12,0 , 2,1 = 0,12,12,0 , calcule ∇ H 2,2 , 2 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos obter o gradiente de H no ponto 2,2 , 2 . Pra isso, foi dito que H é uma função composta de G e o ∇ G no ponto 12,0 , 2,1 é 0,12,12,0 .

E aí, como podemos resolver esse problema? 🤔

Vamos chamar de F a função F x , y , z = 2 x 2 + y z , x y - y z , x y z 1 3 , x - 1 , dessa forma, podemos dizer que H é a função composta de G com F .

Portanto, para resolver esse problema, temos que aplicar a regra da cadeia.

A derivada de uma função composta é igual a derivada da função interna multiplicado pela derivada da função externa.

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Se H = G F , então a derivada de H será

∇ H = ∇ F · ∇ G F

Estamos interessados em ∇ H no ponto 2,2 , 2 , então aplicando o ponto nas funções, temos

∇ H 2,2 , 2 = ∇ F 2,2 , 2 · ∇ G F 2,2 , 2

Mas o que é F 2,2 , 2 ?

Substituindo essas coordenadas em F , temos

F x , y , z = 2 x 2 + y z , x y - y z , x y z 1 3 , x - 1

F 2,2 , 2 = 2 2 2 + 2 2 , 2 2 - 2 2 , 2 2 2 1 3 , 2 - 1

F 2,2 , 2 = 12 , 0 , 2 , 1

Substituindo em ∇ H

∇ H 2,2 , 2 = ∇ F 2,2 , 2 · ∇ G 12 , 0 , 2 , 1

Perceba que esse ∇ G já foi dado no enunciado

∇ G 12,0 , 2,1 = 0,12,12,0

O que nos resta é calcular o ∇ F , que é obtido como

∇ F x , y , z = ∂ F 1 ∂ x ∂ F 1 ∂ y ∂ F 1 ∂ z ∂ F 2 ∂ x ∂ F 2 ∂ y ∂ F 2 ∂ z ∂ F 3 ∂ x ∂ F 3 ∂ y ∂ F 3 ∂ z ∂ F 4 ∂ x ∂ F 4 ∂ y ∂ F 4 ∂ z

∇ F x , y , z = ∂ 2 x 2 + y z ∂ x ∂ 2 x 2 + y z ∂ y ∂ 2 x 2 + y z ∂ z ∂ x y - y z ∂ x ∂ x y - y z ∂ y ∂ x y - y z ∂ z ∂ x y z 1 3 �� x ∂ x y z 1 3 ∂ y ∂ x y z 1 3 ∂ z ∂ x - 1 ∂ x ∂ x - 1 ∂ y ∂ x - 1 ∂ z

Bastante coisa pra calcular, né? 👀

Passo 3

Pelo método de derivação polinomial, tiramos que

∂ 2 x 2 + y z ∂ x = 4 x

∂ 2 x 2 + y z ∂ y = z

∂ 2 x 2 + y z ∂ z = y

Agora pela regra da cadeia, temo

∂ x y - y z ∂ x = y 2 x y

∂ x y - y z ∂ y = x 2 x y - z 2 x y

∂ x y - y z ∂ y = - z 2 x y

∂ x y z 1 3 ∂ x = y z 3 x y z 2 3

∂ x y z 1 3 ∂ y = x z 3 x y z 2 3

∂ x y z 1 3 ∂ z = x y 3 x y z 2 3

E finalmente, também pela regra da cadeia

∂ x - 1 ∂ x = 1 2 x - 1

∂ x - 1 ∂ y = 0

∂ x - 1 ∂ z = 0

Com isso   ∇ F será

∇ F x , y , z = 4 x z y y 2 x y y 2 x y - z 2 x y - z 2 x y y z 3 x y z 2 3 x z 3 x y z 2 3 x y 3 x y z 2 3 1 2 x - 1 0 0

Tranquilo até aqui? 👍

Passo 4

Aplicando o ponto 2,2 , 2 , temos que

∇ F 2 , 2 , 2 = 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 2 2 2 - 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 1 2 2 - 1 0 0

∇ F 2,2 , 2 = 8 2 2 1 2 0 - 1 2 1 3 1 3 1 3 1 2 0 0

Substituindo em ∇ H , temos que

∇ H 2,2 , 2 = ∇ F 2,2 , 2 · ∇ G 12 , 0 , 2 , 1

∇ H 2,2 , 2 = 0,12,12,0 · 8 2 2 1 2 0 - 1 2 1 3 1 3 1 3 1 2 0 0

∇ H 2,2 , 2 = 10,4 , - 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∇ H 2,2 , 2 = 10,4 , - 2

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