Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente

Origem do Exercício

Considere a função F x , y , z = x 3 y z . Calcular o gradiente da função F ( x , y , z )

(a) 3 x 2 y z i + x 3 y 2 z j + x 3 y z 2 k

(b) x 2 y z i + x 3 y 2 z j + x 3 y z 2 k

(c) 3 x 2 y z i + x 3 y z 2 j - x 3 y z 2 k

(d) 3 x 2 y z i + x 3 2 y z j - x 3 y z 2 k

(e) x 2 y 2 z i + x 3 y z 2 j + x 3 y 2 z 2 k

Passo 1

Vamos lembrar da fórmula para o vetor gradiente de uma função:

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Ok, então nosso problema é simplesmente calcular essas três derivadas parciais.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar com a derivada em relação a x . Nesse caso, y e z se comportam como constantes:

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x 3 y z = y z ∂ ∂ x x 3 = y z 3 x 2 = 3 x 2 y z

E fazemos quase a mesma coisa para a derivada em relação a y :

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x 3 y z = x 3 z ∂ ∂ y y + x 3 z 1 2 y   = x 3 2 y z

E agora em relação a z :

∂ f ∂ z = ∂ ∂ z x 3 y x = x 3 y   ∂ ∂ z 1 z = x 3 y - 1 z 2 = - x 3 y z 2

Então nosso vetor gradiente é:

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

∇ f = 3 x 2 y z i + x 3 2 y z j - x 3 y z 2 k

Resposta

Letra (d).

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