Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente

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Enunciado

Determine o vetor gradiente das superfícies abaixo

  1. S 1 = x , y , z ∈ R 3 x y z + x 3 + y 3 + z 3 = 3 z
  2. S 2 = x , y , z ∈ R 3 x 2 4 + y 2 9 - z 2 = x

Passo 1

a )

A superfície S 1 é o gráfico da função

f x , y , z = x y z + x 3 + y 3 + z 3 - 3 z

∇ f x , y , z =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f x , y , z = y z + 3 x 2 , x z + 3 y 2 , x y + 3 z 2 - 3

Passo 2

b )

A superfície S 2 é o gráfico da função

f x , y , z = x 2 4 + y 2 9 - z 2 - x

∇ f x , y , z =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f x , y , z =   x 2 - 1 , 2 y 9 , - 2 z

Resposta

  1. ∇ f x , y , z = y z + 3 x 2 , x z + 3 y 2 , x y + 3 z 2 - 3
  2. ∇ f x , y , z =   x 2 - 1 , 2 y 9 , - 2 z

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