A temperatura em um ponto ( x ,   y ,   z ) é dada por T ( x ,   y ,   z ) = 40 e - x 2 - 3 y 2 - z 2 , onde T é medida em graus Celsius e x , y , z em metros. A direção e sentido de maior aumento da temperatura a partir do ponto P = ( 1 ,   - 2 ,   1 ) é dada pelo vetor unitário u → = (     ,       ,     ) / 38 e a taxa de variação máxima da temperatura neste ponto é ..... 38 e - 14 graus Celsius por metro.

Passo 1

Oi, tudo bem? Parece complicado né?

Vamos resolver juntos?

O enunciado deu uma função temperatura T ( x ,   y ,   z ) e pediu o sentido da maior variação e a taxa de maior variação. Isso só tem um cheiro: gradiente!

O gradiente de uma função é o vetor que nos dá a direção e o sentido (quando normalizado) da MAIOR taxa de variação da função num ponto!

E a norma do vetor é justamente a taxa máxima de variação!

Então precisamos achar o vetor gradiente, achar sua norma (será a taxa máxima) e achar o vetor unitário que dá a direção dessa taxa máxima!

Sacou?

Mas calma que vou fazer passo a passo!

Vamos nessa?

Passo 2

A expressão dada foi:

T ( x ,   y ,   z ) = 40 e - x 2 - 3 y 2 - z 2

Agora o gradiente é:

∇ T = - 2 x . 40 e - x 2 - 3 y 2 - z 2 ;   - 6 y . 40 e - x 2 - 3 y 2 - z 2 ;   - 2 z . 40 e - x 2 - 3 y 2 - z 2

∇ T = - 80 x e - x 2 - 3 y 2 - z 2 ,   - 240 y e - x 2 - 3 y 2 - z 2 , - 80 z e - x 2 - 3 y 2 - z 2

Beleza?

Passo 3

Agora vamos aplicar no ponto dado. Primeiro essa exponencial:

e - x 2 - 3 y 2 - z 2   e m   1 , - 2,1 é :

e - 1 2 - 3 - 2 2 - 1 2 = e - 14

E agora o gradiente:

∇ T = - 80 x e - x 2 - 3 y 2 - z 2 ,   - 240 y e - x 2 - 3 y 2 - z 2 , - 80 z e - x 2 - 3 y 2 - z 2

Em ( 1 , - 2,1 ) :

∇ T 1 , - 2,1 = ( - 80 e - 14 ; 480 e - 14 ;   - 80 e - 14 )

Então, esse é o vetor gradiente nesse ponto. Ele é quem nos diz (quando normalizado) a direção e o sentido da maior variação.

E sua norma nos diz a maior taxa naquele ponto. E são essas as duas informações que o problema nos pede.

Beleza até aqui?

Os próximos passos é encontrar a normalização, essa é a maior taxa, e depois dividir pelo vetor pra achar a direção e sentido.

Passo 4

Começando pela normalização:

∇ T

∇ T = ( - 80 e - 14 ; 480 e - 14 ;   - 80 e - 14 )

∇ T = - 80 e - 14 2 + 480 e - 14 2 + - 80 e - 14 2

∇ T = 6400 + 230400 + 6400 e 28 = 80 38 e 14

E aqui já podemos completar uma das lacunas!

“variação máxima da temperatura neste ponto é ..... 38 e - 14

O coeficiente que vai ali na frente é: 80

Passo 5

E agora dividindo o vetor ∇ T pela normalização pra achar o vetor unitário u → :

u → = ∇ T ∇ T

u → = ( - 80 e - 14 ; 480 e - 14 ;   - 80 e - 14 ) 80 e - 14 38

Vou dividir em cima e embaixo por 80 e - 14 :

u → = ( - 1 ; 6 ; - 1 ) 38

E aí completamos o que falta!

“é dada pelo vetor unitário u → = (     ,       ,     ) / 38

Os números que vão ali são: -1, 6 e -1

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

v e t o r :   - 1 ,   6   e   - 1

t a x a : 80

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a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:c) z = s e n( 3 x + y ) ; P 0 , π 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. x 2 + x y + y 2 - 3 y = 1 ,e m 1,2
Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )