Seja T ( x ,   y )   =   x 2   +   y 2 a temperatura numa chapa de aço plana. Dado o ponto P   =   ( 3 ,   4 ) , determine:

c) a taxa de variação da temperatura a partir do ponto P na direção de um vetor unitário u → que faz um ângulo de 30 ° com o gradiente da temperatura no ponto   P .

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu uma função que representa a temperatura em uma chama de aço plana

T ( x ,   y )   =   x 2   +   y 2

E um determinado ponto

P = ( 3,4 )

P na direção de um vetor unitário u → que faz um ângulo de 30 ° com o gradiente da temperatura no ponto P . Mas como fazer isso?

Precisamos olhar o gradiente no ponto P com mais carinho

∇ → T 3,4 = ( 6,8 )

Esse é a direção do máximo crescimento. Mas queremos em outra direção! Queremos na direção de um vetor unitário u → qualquer que faça um ângulo de 30 ° com o nosso gradiente!

Mas o que é mesmo a taxa de variação ao longo de uma direção específica? Isso significa que queremos a derivada direcional!

Então a ideia aqui é aplicar a fórmula da derivada direcional aqui!

Tranquilo?

Partiu começar?

Passo 2

A derivada direcional de T na direção de um vetor u → qualquer é o produto escalar entre esses dois vetores

D u → T 3,4 = ∇ → T 3,4 ⋅ u →

Tudo bem até aqui?

Temos ∇ → T 3,4 = ( 6,8 )

Mas não sabemos a cara desse vetor unitário, então fica complicado fazer o produto escalar

Mas temos uma forma alternativa de calcular o produto escalar entre dois vetores, sabendo o ângulo θ entre eles

a → ⋅ b → = a b cos ⁡ θ

E esse ângulo nós sabemos!

Passo 3

Usando o gradiente no ponto

∇ → T 3,4 = ( 6,8 )

E sabendo que o vetor unitário tem norma 1

D u → T 3,4 = ∇ → T 3,4 ⋅ u → = ∇ → T 3,4 u → cos ⁡ π 6

Daí a norma de ∇ → T 3,4 = 6 2 + 8 2 = 10 , substituindo temos a derivada direcional

D u → T 3,4 = 10.1 . 3 2 = 5 3

Belezinha?

Até a próxima!

Resposta

5 3

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a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:c) z = s e n( 3 x + y ) ; P 0 , π 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. x 2 + x y + y 2 - 3 y = 1 ,e m 1,2
Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )