Seja a função abaixo definida

f x , y = exp ⁡ 2 x 2 + y 2 - 4 ,     s e   x 2 + y 2 < 4 0 ,                           s e   x 2 + y 2 ≥ 4

  1. Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f ( x , y ) .
  2. Determine a função gradiente de f ( x , y ) .
  3. Determine o conjunto dos pontos onde f ( x , y ) é diferenciável.

Passo 1

Faaala, pessoal! Fora desse limite entre as regiões basta derivarmos as expressões. Considerando p x , y = x 2 + y 2 - 4 , temos:

f ∘ p x , y = e 2 p ,     s e   p < 0 0 ,                           s e   p ≥ 0

Para p > 0 , temos:

∇ f x , y = ∂ ∂ x 0 , ∂ ∂ y 0 = ( 0,0 )

Enquanto para p < 0 :

∇ f ∘ p x , y = f ' p ∇ p ( x , y )

= - 2 e 2 p p 2 ( 2 x ,   2 y )

= - 4 x x 2 + y 2 - 4 2 exp ⁡ 2 x 2 + y 2 - 4 , - 4 y x 2 + y 2 - 4 2 exp ⁡ 2 x 2 + y 2 - 4

Assim:

∇ f = - 4 x x 2 + y 2 - 4 2 exp ⁡ 2 x 2 + y 2 - 4 , - 4 y x 2 + y 2 - 4 2 exp ⁡ 2 x 2 + y 2 - 4     s e   x 2 + y 2 < 4 0,0   s e   x 2 + y 2 ≥ 4

Resposta

∇ f = - 4 x x 2 + y 2 - 4 2 exp ⁡ 2 x 2 + y 2 - 4 , - 4 y x 2 + y 2 - 4 2 exp ⁡ 2 x 2 + y 2 - 4     s e   x 2 + y 2 < 4 0,0   s e   x 2 + y 2 ≥ 4

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