A taxa de variação máxima d e   f ( x ,   y )   =   x ² + y x + y ² em P = ( - 1 ,   1 ) e a direção em que isso ocorre é:

  1. 2 2   e - 1,1
  2. 2   e - 1,1
  3. 2   e 1,1
  4. 2 2   e 1 , - 1

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O enunciado pediu a taxa de variação máxima e a direção onde isso ocorre, isso só tem um cheiro: de norma do gradiente aplicado no ponto e direção do gradiente!

Como relembrar é viver, para calcular essas coisas:

- calcular o gradiente de f

- aplicar no ponto (esse vetor que acharemos é a direção da maior taxa de variação)

- fazer a norma desse vetor (aí que vamos achar a taxa máxima)

Vamos nessa?

Passo 2

O gradiente da função f ( x ,   y )   =   x ² + y x + y ² é:

∇ → f = ∂ ∂ x x ² + y x + y ²   i ^ + ∂ ∂ y x ² + y x + y ²   j ^

∇ → f = 〈 2 x + y ; x + 2 y 〉

E agora aplicando esse vetor em P ( - 1,1 ) temos:

∇ → f - 1,1 = - 2 + 1 ;   - 1 + 2 = 〈 - 1 ; 1 〉

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos calcular a maior taxa: a norma do vetor que achamos!

∇ → f - 1,1 = - 1 2 + 1 2 = 2

Essa é a maior taxa. E a direção? É a direção do vetor mesmo: 〈 - 1,1 〉 .

A alternativa que tem essas respostas certinhas é a (b).

Resposta

( b )

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a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:c) z = s e n( 3 x + y ) ; P 0 , π 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. x 2 + x y + y 2 - 3 y = 1 ,e m 1,2
Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )