Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V ( x , y , z ) = 5 x 2 - 3 x y + x y z .

  1. Qual a taxa de variação máxima em P ?

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos diz que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V ( x , y , z ) = 5 x 2 - 3 x y + x y z .

Queremos saber qual a taxa de variação máxima em P .

Para isso, devemos descobrir quem é o vetor gradiente e, em seguida, calcular o seu módulo!

Agora bora junto calcular!!

😉

Passo 2

Primeiramente vamos calcular o gradiente ∇ V :

∇ V x , y , z = ∂ V ∂ x i + ∂ V ∂ x j + ∂ V ∂ x k

Assim, calculando as derivadas parciais, obtemos:

∂ V ∂ x = 10 x - 3 y + y z

∂ V ∂ y = - 3 x + x z

∂ V ∂ z = x y

Logo, substituindo na fórmula do gradiente, temos:

∇ V x , y , z = 10 x - 3 y + y z i ^ + - 3 x + x z j ^ + x y k ^

Assim, para o ponto P 3,4 , 5 , temos:

∇ V 3,4 , 5 = 10 * 3 - 3 * 4 + 4 * 5 i ^ + - 3 * 3 + 3 * 5 j ^ + 3 * 4 k ^ ∴

∇ V 3,4 , 5 = 38 i ^ + 6 j ^ + 12 k ^

Passo 3

Nesse sentido, a taxa de variação máxima em P é dada pelo módulo de ∇ V 3,4 , 5 :

∇ V 3,4 , 5 = 38 2 + 6 2 + 12 2 ∴

∇ V 3,4 , 5 = 1624

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∇ V 3,4 , 5 = 1624

Exercícios de Livros Relacionados

a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:c) z = s e n( 3 x + y ) ; P 0 , π 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. x 2 + x y + y 2 - 3 y = 1 ,e m 1,2
Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )