(Capítulo 14.6 – Exercício 51) Mostre que a equação do plano tangente ao elipsoide x 2 a 2 + y 2 b ² + z 2 c 2 = 1 no ponto x 0 , y 0 , z 0 pode ser escrita como

x x 0 a 2 + y y 0 b 2 + z z 0 c 2 = 1

Passo 1

Faaala galera! Ó, queremos mostrar que o plano tangente ao elipsoide x 2 a 2 + y 2 b ² + z 2 c 2 = 1 em determinado ponto x 0 , y 0 , z 0 sempre vai ser x x 0 a 2 + y y 0 b 2 + z z 0 c 2 = 1

Pra provar isso, primeiramente fazemos a derivada parcial de cada uma das coordenadas da equação da elipsoide. Montamos o vetor gradiente para pontos genéricos. Com isso, podemos montar a equação do plano tangente e verificar se a proposição da questão está correta. Lembrando que a equação do plano tangente é dada assim

F x x o , y o , z o x - x o + F y x o , y o , z o y - y o + F z x o , y o , z o z - z o = 0

Então vamos

Passo 2

Temos

x 2 a 2 + y 2 b ² + z 2 c 2 = 1

f x , y , z = x 2 a 2 + y 2 b ² + z 2 c 2 - 1

Encontrando as derivadas parciais:

f x = 2 x a 2

f y = 2 y b 2

f z = 2 z c 2

Então o vetor gradiente é

∇ F x , y , z = 2 x a 2 , 2 y b 2 , 2 z c 2

Aplicando no ponto x 0 , y 0 , z 0 :

∇ F x 0 , y 0 , z 0 = 2 x 0 a 2 , 2 y 0 b 2 , 2 z 0 c 2

Passo 3

A equação do plano tangente em ( x o , y o , z o ) é:

F x x o , y o , z o x - x o + F y x o , y o , z o y - y o + F z x o , y o , z o z - z o = 0

2 x 0 a 2 ( x - x 0 ) + 2 y 0 b 2 ( y - y 0 ) + 2 z 0 c 2 ( z - z 0 ) = 0

2 x 0 . x a 2 - 2 x 0 2 a 2 + 2 y 0 . y b 2 - 2 y 0 2 b 2 + 2 z 0 . z c 2 - 2 z 0 2 c 2 = 0

2 x x 0 a 2 + 2 y y 0 b 2 + 2 z z 0 c 2 = 2 x 0 2 a 2 + 2 y 0 2 b 2 + 2 z 0 2 c 2

Cortando o 2 dos dois lados:

x x 0 a 2 + y y 0 b 2 + z z 0 c 2 = x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2 + z 0 2 c 2

Tal é verdade desde que ( x o , y o , z o ) seja um ponto do elipsoide.

Então ta provadooo

Passo 4

Resposta

x o a 2 x + y o b 2 y + z o c 2 z = 1 é uma equação do plano tangente.

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