25 Encontre o vetor gradiente de cada uma das funções:

(b) f x , y , z = x arctan ⁡ y + z

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema, nosso objetivo é obter o vetor gradiente da função f x , y , z = x arctan ⁡ y + z .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

O vetor gradiente de uma função é obtido a partir das suas derivadas parciais, ou seja

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Sacou? Bora lá! 😉

Passo 2

Primeiro vamos calcular a derivada parcial de f em função de x

∂ f ∂ x = ∂ x arctan ⁡ y + z ∂ x = arctan ⁡ y + z ∂ x ∂ x

Pelo método de derivação polinomial

∂ f ∂ x = arctan ⁡ y + z

Agora derivamos f em função de y

∂ f ∂ y = ∂ x arctan ⁡ y + z ∂ y = x ∂ arctan ⁡ y + z ∂ y

Nesse caso, f é uma função composta, então para o cálculo da sua derivada, temos que aplicar a regra da cadeia.

∂ f ∂ y = x ∂ y + z ∂ y ∂ arctan ⁡ u ∂ u

∂ f ∂ y = x 1 1 u 2 + 1

∂ f ∂ y = x u 2 + 1

Voltando u para y + z ...

∂ f ∂ y = x y + z 2 + 1

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Para z agora, temos

∂ f ∂ z = ∂ x arctan ⁡ y + z ∂ z = x ∂ arctan ⁡ y + z ∂ z

∂ f ∂ z = x ∂ y + z ∂ z ∂ arctan ⁡ u ∂ u

∂ f ∂ z = x 1 1 u 2 + 1

∂ f ∂ z = x u 2 + 1

Substituindo u

∂ f ∂ z = x y + z 2 + 1

Substituindo ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y e ∂ f ∂ z no vetor gradiente, chegamos em

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f = arctan ⁡ y + z , x y + z 2 + 1 , x y + z 2 + 1

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

∇ f = arctan ⁡ y + z , x y + z 2 + 1 , x y + z 2 + 1

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