5) A temperatura, em Kelvin, de certo ambiente é modelada pela função T x , y , z = e y - 1 s e n x z + ln ⁡ 1 + y 2 z 6 .

(I) Considerando direções unitárias, qual é a maior taxa de resfriamento, ou seja, a taxa de variação mais negativa da temperatura no ponto 0,1 , 1 ?

(II) Uma andorinha move-se na trajetória c t = - 5 t , cos ⁡ t , e - t , onde t denota tempo. Qual é a taxa de variação de temperatura sentida pela andorinha quando ela passa pelo ponto 0,1 , 1 ? Dica: Utilize a tangente de c t no ponto 0,1 , 1 .

(III) O valor encontrado no item (II) é menor (mais negativo) que o encontrado no item (I). Porque isso não contradiz o da taxa de variação no item (I) ser a de maior resfriamento?

Passo 1

Como vai meu consagrado? 😁 Bora aprender como resolver essa questão? 😉

Temos um espaço cuja temperatura é dada pela equação T x , y , z = e y - 1 s e n x z + ln ⁡ 1 + y 2 z 6 .

A partir disso, queremos saber qual é a maior taxa de mudança de temperatura no ponto 0,1 , 1 , dada uma andorinha voando nesse espaço seguindo a trajetória c t = - 5 t , cos ⁡ t , e - t temos que obter qual é a taxa de variação de temperatura sentida pela andorinha quando ela passa pelo ponto 0,1 , 1 e por fim comparar os dois valores obtidos.

Bastante coisa né? 🤔

Passo 2

Primeiramente, para obter a maior taxa de variação de uma função, temos que obter o gradiente dessa função e aplicar o ponto 0,1 , 1 , assim, obtendo o modulo desse vetor, obtemos a maior taxa de variação da temperatura.

∇ T = ∂ T ∂ x , ∂ T ∂ y , ∂ T ∂ z

No segundo caso, temos que relacionar a função T x , y , z com a função c t fazendo T c t e obtendo a taxa de variação de T em função de t .

∂ T c t ∂ t

E depois comparar esses valores e verificar se faz sentido esses resultados.

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Começando pelo gradiente de T , temos

∇ T = ∂ T ∂ x , ∂ T ∂ y , ∂ T ∂ z

∇ T = ∂ e y - 1 s e n x z + ln ⁡ 1 + y 2 z 6 ∂ x , ∂ e y - 1 s e n x z + ln ⁡ 1 + y 2 z 6 ∂ y , ∂ e y - 1 s e n x z + ln ⁡ 1 + y 2 z 6 ∂ z

Pela regra da cadeia, temos

∇ T = z e y - 1 c o s x z , e y - 1 s e n x z + 2 y z 6 1 + y 2 z 6 , x e y - 1 c o s x z + 6 y 2 z 5 1 + y 2 z 6

Aplicando o ponto 0,1 , 1 no gradiente, vamos obter

∇ T = 1 e 1 - 1 c o s 0 1 , e 1 - 1 s e n 0 1 + 2 1 1 6 1 + 1 2 1 6 , 0 e 1 - 1 c o s 0 1 + 6 1 2 1 5 1 + 1 2 1 6

∇ T = 1 , 1 , 3

Obtendo o modulo desse vetor, temos

∇ T = 1 2 + 1 2 + 3 2

∇ T = 11

Porém como queremos a maior taxa de resfriamento, é só fazermos - ∇ T

- ∇ T = - 11

Entendeu essa parte? 👀

Passo 4

Na segunda parte, temos que aplicar a função c t na função T x , y , z

∂ T c t ∂ t = ∂ T ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ T ∂ y ∂ y ∂ t + ∂ T ∂ z ∂ z ∂ t = ∇ T x t , y t , z t · c ' t

Obtendo c ' t , temos

d c d t = d - 5 t , cos ⁡ t , e - t d t

d c d t = - 5 , - s e n t , - e - t

Para c t = 0,1 , 1 , temos

- 5 t , cos ⁡ t , e - t = 0,1 , 1 → t = 0

Portanto, fazendo o produto interno entre o gradiente de T no ponto 0,1 , 1 e c ' t para t = 0 ...

∂ T c 0 ∂ t = ∇ T x 0 , y 0 , z 0 · c ' 0

∂ T c 0 ∂ t = 1 , 1 , 3 · - 5 , - s e n 0 , - e 0

∂ T c 0 ∂ t = 1 , 1 , 3 · - 5 , 0 , - 1

∂ T c 0 ∂ t = - 5 + 0 - 3

∂ T c 0 ∂ t = - 8

Portanto, a taxa de variação que o pássaro sente é - 8   K e l v i n no ponto 0,1 , 1

Bacana, não é? 😁

Passo 5

Comparando os dois resultados, vemos que a máxima variação de resfriamento no ponto 0,1 , 1 é dada por - 11 Kelvin, porém, a variação de temperatura sentida pela ave é de - 8 Kelvin.

Mas se - 11 é maior que - 8 , como o pássaro conseguiu encontrar uma variação de temperatura maior que a variação encontrada pelo gradiente de T ?

Isso acontece pois o modulo de c ' 0 não é unitário, então com um vetor maior, a taxa de variação pode ser aumentada por abranger um espaço maior.

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

- ∇ T = - 11

∂ T c 0 ∂ t = - 8

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a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:c) z = s e n( 3 x + y ) ; P 0 , π 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. x 2 + x y + y 2 - 3 y = 1 ,e m 1,2
Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )