Sem usar o método dos multiplicadores de Lagrange determine os pontos do cone

z 2 = x 2 + y 2 que estão mais próximos do ponto ( 4 ,   2 ,   0 ) .

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu a equação desse cone aqui

z 2 = x 2 + y 2

( 4,2 , 0 ) . Mas como fazer isso?

A ideia aqui é usar multiplicadores de Lagrange para minimizar a função distância ao ponto:

d = x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2

Mas essa função está pouco complicada, em vez de usar ela, podemos usar seu quadrado! O resultado serão os mesmos pontos!

Assim, precisamos minimizar a função

D = x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2

No ponto dado! E qual a restrição? Esses pontos próximos precisam estar sobre o cone! O cone é nossa restrição!

Tranquilo?

Partiu começar?

Passo 2

Vamos achar os pontos críticos da função quadrado da distância do ponto ( x , y , z ) até o ponto ( 4,2 , 0 )

D = x - 4 2 + y - 2 2 + z 2

∇ D = ( 4 x - 8 ,   4 y - 4   )

Essa função só é zero quando

4 x - 8 = 0 → x = 2

4 y - 4 = 0 → y = 1

Tudo bem até aqui?

E é nosso único ponto crítico!

Passo 3

Então vamos verificar se é ponto de mínimo: hessiana de D !

D x = 4 x - 8

D x x = 4

D y = 4 y - 4

D y y = 4

Aí temos:

H D = 4 0 0 4 = 16 > 0

E D x x > 0 , portanto ( 2,1 ) é um mínimo global!

Passo 4

Nosso passo final é encontrar qual é esse ponto sobre a superfície do cone!

z 2 = x 2 + y 2 → z = ± x 2 + y 2

z = ± 2 2 + 1 2 = ± 5

Assim os pontos mais próximos de ( 4,2 , 0 ) e que pertencem ao cone são

2,1 , 5 ,   2,1 , - 5

Belezinha? É isso!

Até a próxima!

Resposta

2,1 , 5 ,   2,1 , - 5

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