Considere a função f x , y = e x 2 y - 4 + y 5

(a) Calcule f x 2,1 ,   f y 2,1 e explique as suas discrepâncias geométricas.

(b) Encontre a taxa máxima de variação da função f ( x , y ) no ponto 2,1 . Determine a direção em que essa taxa máxima de variação ocorre.

(c) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de f x , y no ponto 2,1 , 2 .

(d) Encontre a linearização de f x , y em 2,1 , use-a para calcular aproximadamente f 2.01,0.9 e explique por que é possível usar a sua linearização para aproximar f .

Passo 1

Aqui temos um problema para aplicarmos a ideia de derivadas parciais, e consequentemente, estaremos lidando com a ideia de gradiente.

Tome que ∇ f é dito gradiente de uma função, na qual o operador é descrito por

∇   = ∂ ∂ x 1 , ∂ ∂ x 2 , … , ∂ ∂ x n

Quando estamos lidando com uma função for descrita por n coordernadas.

Assim temos que para nosso problema, teremos que o gradiente da nossa função poderá ser escrito como

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = f x x , y , f y x , y

Na qual dizemos que a taxa de crescimento do nosso campo vetorial ∇ f é dado pela norma do gradiente.

Passo 2

(a) O primeiro item, o problema nos pede para calcular as derivadas parciais de nossa f e aplica-la no ponto 2,1 , assim tome que

f x 2,1 , f x 2,1 = ∂ f x , y ∂ x , ∂ f x , y ∂ y x , y = 2,1

Assim tome que

f x , y = e x 2 y - 4 + y 5

então

∂ f x , y ∂ x = ∂ ∂ x e x 2 y - 4 + y 5 = e x 2 y - 4 ⋅ ∂ ∂ x x 2 y - 4 = ( 2 x y ) e x 2 y - 4

e

∂ f x , y ∂ y = ∂ ∂ y e x 2 y - 4 + y 5 = e x 2 y - 4 ⋅ ∂ ∂ y x 2 y - 4 + d d y y 5 = x 2 e x 2 y - 4 + 5 y 4  

Ou seja, temos que

f x x , y = ( 2 x y ) e x 2 y - 4 f y x , y = x 2 e x 2 y - 4 + 5 y 4

Logo teremos que

f x 2,1 = 4 f y 2,1 = 9

Passo 3

(b) A taxa máxima de variação será da pela norma do nosso gradiente. Assim como vimos pelo item anterior, temos que

∇ f x , y = 2 x y e x 2 y - 4 ,   x 2 e x 2 y - 4 + 5 y 4

E consequentemente

∇ f 2,1 = 4,9

Logo pela norma do nosso gradiente, temos que

∇ f 2,1 = ( 4,9 ) = 4 2 + 9 2 = 16 + 81 = 97

Ou seja, a maior taxa de crescimento dessa direção, é dada por 97 .

Passo 4

(c) Temos que a equação do plano tangente à superfície z = f x , y no ponto x 0 , y 0 , z 0 é dada por

z - z 0 = f x x 0 , y 0 ⋅ x - x 0 + f y x 0 , y 0 ⋅ ( y - y 0 )

Assim como visto no passo 2, temos que

f x 2,1 = 4 f y 2,1 = 9

Logo nossa equação do plano tangente que passa pelo ponto ( 2,1 , 2 ) pode ser escrita como

z - 2 = f x 2,1 ⋅ x - 2 + f y 2,1 ⋅ y - 1 = 4 x - 2 + 9 y - 1

z - 2 = 4 x - 8 + 9 y - 9

Com nossa equação do plano resumida em

4 x + 9 y - z - 15 = 0

Passo 5

(d) Dada uma curva qualquer, dizemos que, em pontos muito próximos ao nosso ponto que estamos trabalhamos, existe uma reta que descreve razoavelmente bem todos os pontos nesse intervalo minúsculo.

Essa reta pode ser descrita como

L x , y = f x 0 , y 0 + f x x 0 , y 0 ⋅ x - x 0 + f y x 0 , y 0 ⋅ ( y - y 0 )

Para o caso bidimensional.

Assim teremos que para x 0 , y 0 = 2,1 , temos

L x , y = f 2,1 + f x 2,1 ⋅ x - 2 + f y 2,1 ⋅ ( y - 1 )

Logo pelo passo 1 e seus resultados

L x , y = 2 + 4 ⋅ x - 2 + 9 ⋅ ( y - 1 )

= 4 x + 9 y - 15

Assim tome o seguinte: próximo ao nosso ponto 2,1 , 2 , o nosso plano tangente descreve razoavelmente bem a nossa função f x , y . Assim fizemos que

L x , y ≈ f x , y

Logo queremos saber o valor da nossa função no ponto (2.01, 0.9). Assim tome que

f 2.01,0.9 ≈ L 2.01,0.9 = 4 ⋅ 2.01 + 9 ⋅ 0.9 - 15 = 1.14

Resposta

  1. f x = 4 e f y = 9
  2. ∇ f 2,1 = 4,9 e ∇ f 2,1 = 97
  3. 4 x + 9 y - z - 15 = 0
  4. f 2.01,0.9 = 1.14

Exercícios de Livros Relacionados

a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:c) z = s e n( 3 x + y ) ; P 0 , π 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. x 2 + x y + y 2 - 3 y = 1 ,e m 1,2
Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )