Seja f :   R 2 → R uma função de classe C 1 tal que ∇ f 1 ,   1 = 0 ,   1 . Sabendo que exatamente uma das curvas abaixo tem imagem contida na curva de nível de f que contém 1 ,   1 , assinale a alternativa que contém tal curva.

a) γ t = cos ⁡ t + 1 ,   s e n   t ,   t ∈ R .

b) γ t = t ,   1 / t ,   t ∈   ] 0 ,   + ∞ [ .

c) γ t = sec ⁡ t , tan ⁡ t + 1 ,   t ∈   ] - π / 2 ,   π / 2 [ .

d) γ t = t , ln ⁡ t + 1 ,   t ∈   ] 0 ,   + ∞ [ .

e) γ t = t 3 ,   t ,   t ∈ R .

Passo 1

Bora resolver mais uma questão de prova da POLI? Essa é sobre vetor normal e curvas de nível!

O exercício fala sobre uma função f tal que ∇ f 1 ,   1 = 0 ,   1 . Ele quer saber, dentre as curvas apresentadas nas alternativas, qual está contida na curva de nível de f que contém 1 ,   1 .

Sabemos que o vetor gradiente é ortogonal às curvas de níve da função. Assim, se γ estiver contida na curva de nível de f , o vetor γ ' deve ser ortogonal ao vetor ∇ f no ponto em questão.

Assim, devemos ter

γ ' t 0 ⋅ ∇ f 1 ,   1 = 0 ,

sendo que

γ t 0 = ( 1 ,   1 )

Passo 2

Para isso temos que testar as alternativas! Vamos começar pela alternativa A:

γ t = cos ⁡ t + 1 ,   s e n   t ,   t ∈ R

Derivando cada componente, achamos o vetor tangente:

γ ' t = - s e n   t , cos ⁡ t

Para que γ t 0 = 1 ,   1 , temos que

cos ⁡ t 0 + 1 = 1 s e n   t 0 = 1 ⇒ cos ⁡ t 0 = 0 s e n   t 0 = 1

Considerando a primeira volta ( 0 ≤ t ≤ 2 π ):

t 0 = π 2

Assim,

γ ' t 0 = γ ' π 2 = - s e n π 2 , cos ⁡ π 2 = - 1 ,   0

Vamos ver se esse vetor é ortogonal a ∇ f 1 ,   1 :

γ ' t 0 ⋅ ∇ f 1 ,   1 = - 1 ,   0 ⋅ 0 ,   1 = 0 + 0 = 0

Essa curva é perfeita! A resposta é alternativa A!

Resposta

Alternativa A.

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a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:c) z = s e n( 3 x + y ) ; P 0 , π 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. x 2 + x y + y 2 - 3 y = 1 ,e m 1,2
Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )