Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente

UNICAMP, Cálculo 2, P1 2011.1, 1c

Suponha que T x , y = 4 x 2 + 9 y 2 representa o valor da temperatura em ° C sobre os pontos do plano x y .

  1. Se P é um ponto da curva α t = e 8 t ,   2 e 18 t ,   t ≥ 0 , qual o ângulo entre o vetor tangente a α em t e o vetor gradiente ∇ T α t ?

Passo 1

  1. Vamos começar encontrando o vetor tangente a α t :

α ' t = 8 e 8 t , 36 e 18 t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrando o gradiente de T x , y :

∇ T x , y = 8 x , 18 y

Porém:

∇ T α t = ∇ T e 8 t , 2 e 18 t = 8 e 8 t , 36 e 18 t

Passo 3

Então, para calcular o ângulo entre os vetores vamos usar:

cos ⁡ θ = . α ' t . ∇ T α t α ' t ∇ T α t

Substituindo:

cos ⁡ θ = 8 e 8 t , 36 e 18 t 8 e 8 t , 36 e 18 t 8 e 8 t 2 + 36 e 18 t 2 .   8 e 8 t 2 + 36 e 18 t 2 = 8 e 8 t 2 + 36 e 18 t 2 8 e 8 t 2 + 36 e 18 t 2 = 1

Logo, θ = 0 °

Resposta

c) θ = 0 °

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