Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente

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Enunciado

A temperatura T   numa câmara cresce com a altura. As isotermas são lâminas horizontais e o módulo do vetor gradiente em cada ponto x , y , z é diretamente proporcional à altura z do ponto. Determine a expressão de T em x , y , z , sabendo-se que é nula quando a altura é zero.

Passo 1

Essas questões que tem proporcionalidade sempre me pegavam... Vamos interpretar com calma cada frase do enunciado e tentar entender o que está acontecendo ;)

A primeira frase diz: “A temperatura T   numa câmara cresce com a altura”

Tá, o que isso quer dizer?

Significa que a T x , y , z = k z n + Q , com k > 0 e n > 0 . Ou seja, a função temperatura cresce se z cresce, e diminui se z diminui. Esse k e n que colocamos foi meramente para generalizar: veja que se colocássemos k = 3 e n = 4 , por exemplo, a frase continua sendo verdade, e isso vale para quaisquer k e n maiores de 0 ! Esse Q é uma possível constante independente.

Só mais uma observação: Como o enunciado não disse nada a respeito de x e y , partimos do princípio que eles não interessam para o cálculo da função temperatura. Quando não temos uma informação, de duas uma: ou ela é irrelevante, ou existe alguma maneira de descobri-la. Nesse caso, parece ser irrelevante.

Passo 2

Vamos agora para a segunda frase: “As isotermas são lâminas horizontais e o módulo do vetor gradiente em cada ponto x , y , z é diretamente proporcional à altura z do ponto.”

Traduzindo o que isso que dizer na prática: Se encontrarmos o vetor gradiente da função temperatura, seu módulo será proporcional à coordenada z . Então,

∇ T x , y , z = k . z

Sendo que k é a constante de proporcionalidade (sim, a mesma do passo anterior—ela foi “carregada” junto com o z quando derivamos para obter o vetor gradiente!). Dessa vez não tem z n por que está explícito que é diretamente proporcional a z , e não a alguma potência de z . Assim, também não colocamos nem x nem y , porque, mais uma vez, nada dito a respeito dessas variáveis.

Passo 3

Antes de partir para a próxima frase, vamos desenvolver um pouco essa parada do vetor gradiente? Primeiro, encontremos o vetor gradiente:

∇ T x , y , z = T x , T y , T z

Como nossa função não tem x e y , sua derivadas parciais em relação a essa variável são 0 .

Como a função T é k z n + Q , sua derivada em relação a z fica k . n . z n - 1 . E, por fim, o vetor:

∇ T x , y , z = 0,0 ,   k . n . z n - 1

E seu módulo é a própria coordenada z , pois tirando a raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas, tendo duas delas iguais a 0 , dá a que sobrou ;)

∇ T x , y , z = k . n . z n - 1

Passo 4

Agora vamos pegar esse valor encontrado para o módulo do gradiente de T e substituir na equação do passo 2:

k . n . z n - 1 = k z

Perfeito! Se olharmos para uma equação e para outra, a única maneira de isso ser uma igualdade é se n = 2 , por que assim n - 1 , que é o expoente do lado esquerdo, será igual a 1 , que é o expoente do lado direito.

Mas se n = 2 , então teríamos k . 2 . z 2 - 1 = k . z . E a única maneira disso ser uma igualdade é se colocarmos um fator 1 2 antes do k na própria equação da temperatura, para cancelar com o 2 do n .

Então:

T x , y , z = 1 2 k z 2 + Q

Passo 5

Finalmente, última frase! “Determine a expressão de T em x , y , z , sabendo-se que é nula quando a altura é zero”

Ou seja, quando z = 0 , tudo tem que dar 0 . Isso nos diz que a constante Q deve ser 0 ! Se ele tivesse dito, por exemplo, que com a altura 0 a temperatura é 5, então Q deveria ser 5 , sacou?

E a nossa função fica:

T x , y , z = 1 2 k z 2

Resposta

T x , y , z = 1 2 k z 2

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