A temperatura em um ponto ( x , y , z ) é dada por T x , y , z = 200 e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2 onde T é medido em Celsius e x , y , z em metros. Direção e sentido de mais crescimento no ponto P ( 2 , - 1 ,   2 ) é:

  1. 〈 - 2,3 , - 18 〉
  2. 〈 2 , - 3 , - 18 〉
  3. 〈 - 2,3 , 18 〉
  4. 〈 2 , - 3,18 〉
  5. 〈 2,3 , - 18 〉

Passo 1

Oi, tudo bem? Parece complicado né? Vamos resolver juntos?

O enunciado deu uma função temperatura T ( x ,   y ,   z ) e pediu a direção e o sentido do maior crescimento. Fazendo uma analogia com funções vetoriais, precisamos lembrar que o vetor gradiente de uma função é o vetor que aponta na direção de maior variação da função num dado ponto. Então é exatamente isso que queremos! Na real o problema pede o vetor gradiente dessa função aí! E no ponto P dado!

Lembrem-se: o problema deu uma função e pediu a direção do maior crescimento - gradiente!

Então precisamos achar o vetor gradiente e aplicar no ponto dado!

Sacou?

Mas calma que vou fazer passo a passo!

Vamos nessa?

Passo 2

A expressão dada foi:

T ( x ,   y ,   z ) = 200 e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2

O gradiente é um operador que nos dá um vetor e ele é a derivada parcial da função dada, assim oh:

∇ = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z

E aplicando em T , vamos ter que cada componente vai ser a derivada parcial de cada variável:

Agora o gradiente de T é:

∇ T = - 2 x . 20 0 e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2 ;   - 6 y . 20 0 e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2 ;   - 18 z . 20 0 e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2

∇ T = - 40 0 x e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2 ,   - 120 0 y e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2 , - 360 0 z e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2

Beleza?

Agora precisamos aplicar no ponto P. Assim vamos saber a maior variação nesse ponto.

Passo 3

Agora vamos aplicar no ponto dado. Primeiro essa exponencial:

e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2   e m   2 , - 1 ,   2 é :

e - 2 2 - 3 - 1 2 - 2 2 = e - 11

E agora o gradiente:

∇ T = - 400 x e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2 ,   - 1200 y e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2 , - 3600 z e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2

Em ( 2 , - 1,2 ) :

∇ T 1 , - 2,1 = ( - 800 e - 11 ; 1200 e - 11 ;   - 7200 e - 11 )

Então, esse é o vetor gradiente nesse ponto. Ele é quem nos diz (quando normalizado) a direção e o sentido da maior variação.

Beleza até aqui?

O próximo passo é encontrar a normalização (essa é a maior taxa, mas aqui não foi pedido) e depois dividir pelo vetor pra achar a direção e sentido.

Passo 4

Começando pela normalização:

∇ T

∇ T = ( - 800 e - 11 ; 1200 e - 11 ;   - 7200 e - 11 )

∇ T = - 800 e - 11 2 + 1200 e - 11 2 + - 7200 e - 11 2

∇ T = 640 00 0 + 144000 0 + 51840000 e 22 = 400 337 e 11

Passo 5

E agora dividindo o vetor ∇ T pela normalização pra achar o vetor unitário u → :

u → = ∇ T ∇ T

u → = ( - 800 e - 11 ; 1200 e - 11 ;   - 7200 e - 11 ) 400 e - 11 337

Vou dividir em cima e embaixo por 400 e - 11 :

u → = ( - 2 ; 3 ; - 18 ) 337

Então temos que a direção e o sentido do gradiente é na mesma direção de ( - 2 ; 3 ; - 18 )

, a menos de um fator 1 337 , mas a direção e o sentido são os mesmos!

Sendo assim, a alternativa correta é (a).

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

a

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a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:c) z = s e n( 3 x + y ) ; P 0 , π 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. x 2 + x y + y 2 - 3 y = 1 ,e m 1,2
Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )