Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente

PUC-RJ, Cálculo 2, P2 2013.2, questão 2, item a

Considere as superfícies

S 1 = x , y , z R 3 4 y - 2 2 + 3 z - 1 2 = 4

S 2 = x , y , z R 3 x 3 y 2 + x 3 - 3 y z - z 4 = 3

Explicite as coordenadas de vetores normais não-nulos N 1 x , y , z e N 2 x , y , z às superfícies S 1 e S 2 , respectivamente.

Passo 1

Vamos começar pela superfície S 1 .

Para acharmos um vetor normal temos que, primeiro, achar a função F 1 x , y , z , que é a função da superfície S 1 jogando todas as variáveis para esquerda.

F 1 x , y , z = 4 y - 2 2 + 3 z - 1 2 - 4

O vetor normal vai ser o gradiente dessa nova função F 1 x , y , z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O gradiente vai ser

F 1 = F 1 x , F 1 y , F 1 z

F 1 x = 0

F 1 y = 4.2 y - 2 = 8 y - 16

F 1 z = 3.2 z - 1 = 6 z - 6

O vetor normal vai ser

N 1 = 0,8 y - 16,6 z - 6

Passo 3

Vamos para a superfície S 2 .

Para acharmos um vetor normal temos que, primeiro, que achar a função F 2 x , y , z , que é a função da superfície S 2 jogando todas as variáveis para esquerda.

F 2 x , y , z = x 3 y 2 + x 3 - 3 y z - z 4 - 3

O vetor normal vai ser o gradiente dessa nova função F 2 x , y , z

Passo 4

O gradiente vai ser

F 2 = F 2 x , F 2 y , F 2 z

F 2 x = 3 x 2 y 2 + 3 x 2

F 2 y = 2 x 3 y - 3 z

F 2 z = - 3 y - 4 z 3

O vetor normal vai ser

N 2 = 3 x 2 y 2 + 3 x 2 , 2 x 3 y - 3 z , - 3 y - 4 z 3

Resposta

N 1 = 0,8 y - 16,6 z - 6

N 2 = 3 x 2 y 2 + 3 x 2 , 2 x 3 y - 3 z , - 3 y - 4 z 3

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