Dado a função f x , y , z = x 2 - 3 4 y 3 - sen ⁡ z , o gradiente para todo ( x , y , z ) é:

  1. ∇ f = x 3 3 , - 3 16 y 4 , cos ⁡ z
  2. ∇ f = 2 x , - 9 4 y 2 , - cos ⁡ z
  3. ∇ f = x 3 3 , - 3 16 y 4 , - cos ⁡ z
  4. ∇ f = - 2 x , 9 4 y 2 , - cos ⁡ z
  5. ∇ f = 2 x , - 3 4 y 2 , - cos ⁡ z

Passo 1

Vamos lembrar da fórmula para calcular o gradiente de uma função:

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Lembre-se: o gradiente é um vetor, mas a função f é um escalar.

Agora vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 2

Começando pela derivada parcial de f em relação a x :

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x 2 - 3 4 y 3 - sen ⁡ z = ∂ ∂ x x 2 - ∂ ∂ x 3 4 y 3 - ∂ ∂ x sen ⁡ z

Nesse caso, podemos pensar em y e z como se fossem constantes, e então suas derivadas são nulas.

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x 2 = 2 x

Fazendo um procedimento quase igual, podemos calcular a derivada parcial em relação a y :

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x 2 - 3 4 y 3 - sen ⁡ z = ∂ ∂ y x 2 - ∂ ∂ y 3 4 y 3 - ∂ ∂ y sen ⁡ z

∂ f ∂ y = - ∂ ∂ y 3 4 y 3 = - 9 4 y 2

E agora a derivada em relação a z :

∂ f ∂ z = ∂ ∂ z x 2 - 3 4 y 3 - sen ⁡ z = ∂ ∂ z x 2 - ∂ ∂ z 3 4 y 3 - ∂ ∂ z sen ⁡ z

∂ f ∂ z = - ∂ ∂ z sen ⁡ z = - c o s ⁡ ( z )

Passo 3

Agora podemos substituir esses resultados na fórmula para achar o gradiente:

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

∇ f = 2 x i - 9 4 y 2 j - c o s ⁡ ( z ) k

Pronto!

Resposta

Letra (b).

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a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:c) z = s e n( 3 x + y ) ; P 0 , π 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. x 2 + x y + y 2 - 3 y = 1 ,e m 1,2
Seja F → x , y = - y x 2 + y 2 i → + x x 2 + y 2 j → , x , y ≠ 0,0 .c) F → é conservativo ? Por quê ?