Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente

USP – Cálculo 2 – 2019 – P2 – Exercício 9

Seja f :   R 2 → R uma função de classe C 1 tal que ∇ f 1 ,   1 = 1 ,   1 . Sabendo que exatamente uma das curvas abaixo tem imagem contida na curva de nível de f que contém 1 ,   1 , assinale a alternativa que contém tal curva.

a) γ t = t ,   1 / t ,   t ∈   ] 0 ,   + ∞ [ .

b) γ t = sec ⁡ t , tan ⁡ t + 1 ,   t ∈   ] - π / 2 ,   π / 2 [ .

c) γ t = cos ⁡ t + 1 ,   s e n   t ,   t ∈ R .

d) γ t = t , ln ⁡ t + 1 ,   t ∈   ] 0 ,   + ∞ [ .

e) γ t = t 3 ,   t ,   t ∈ R .

Passo 1

Bora resolver mais uma questão de prova da POLI? Essa é sobre vetor normal e curvas de nível!

O exercício fala sobre uma função f tal que ∇ f 1 ,   1 = 1 ,   1 . Ele quer saber, dentre as curvas apresentadas nas alternativas, qual está contida na curva de nível de f que contém 1 ,   1 .

Sabemos que o vetor gradiente é ortogonal às curvas de níve da função. Assim, se γ estiver contida na curva de nível de f , o vetor γ ' deve ser ortogonal ao vetor ∇ f no ponto em questão.

Assim, devemos ter

γ ' t 0 ⋅ ∇ f 1 ,   1 = 0 ,

sendo que

γ t 0 = ( 1 ,   1 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para isso temos que testar as alternativas! Vamos começar pela alternativa A:

γ t = t ,   1 / t ,   t ∈   ] 0 ,   + ∞ [

Derivando cada componente, achamos o vetor tangente:

γ ' t = 1 ,   - 1 t 2

Para que γ t 0 = 1 ,   1 , temos que

t 0 = 1

Assim,

γ ' t 0 = γ ' 1 = 1 ,   - 1

Vamos ver se esse vetor é ortogonal a ∇ f 1 ,   1 :

γ ' t 0 ⋅ ∇ f 1 ,   1 = 1 ,   - 1 ⋅ 1 ,   1 = 1 - 1 = 0

Essa curva é perfeita! A resposta é alternativa A!

Resposta

Alternativa A.

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