Calcule a primeira coordenada do vetor 1 ,   2 ,   3 na base β = 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   - 2 ,   1 ,   1 ,   0 ,   - 1 :

  1. 3 6 .
  2. 2.
  3. 2 3 .
  4. 0 .

Passo 1

Belozoca de motoca galeris, queremos encontrar a primeira coordenada do vetor 1 ,   2 ,   3 na base β = 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   - 2 ,   1 ,   1 ,   0 ,   - 1

Isto é, na verdade queremos escrever nosso vetor 1 ,   2 ,   3 na base β , e depois identificar a primeira coordenada desse vetor na nova base. Mas beleza, pra mudar um vetor de base temos que na verdade reescrever ele como uma combinação linear dos vetores dessa nova base. Os coeficientes dessa combinação será nosso vetor na base β . Então para o nosso caso temos que escrever nosso vetor como:

1 ,   2 ,   3 = a 1 ,   1 ,   1 + b 1 ,   - 2 ,   1 + c 1 ,   0 ,   - 1

Onde a ,   b e c são os coeficientes da combinação. E nesse caso, o vetor escrito na base β é dado por:

v β = a ,   b ,   c

Passo 2

Belezera, então a equação que a gente montou é essa aqui:

1 ,   2 ,   3 = a 1 ,   1 ,   1 + b 1 ,   - 2 ,   1 + c 1 ,   0 ,   - 1

Abrindo esse produto chegamos em:

a + b + c = 1 a - 2 b + 0 c = 2 a + b - c = 3

Passando para a forma de matriz, temos que:

a + b + c = 1 a - 2 b + 0 c = 2 a + b - c = 3 ⇒ 1 1 1 1 - 2 0 1 1 - 1 1 2 3

E como queremos encontrar apenas primeira coordenada, podemos direcionar nosso escalonamento pra essa variável, saca só. Vamos somar a primeira linha, na última, desse jeito:

1 1 1 1 - 2 0 1 1 - 1 1 2 3 ⇒     L 3 = L 3 + L 1 = 1 1 1 1 - 2 0 2 2 0 1 2 4

Agora, podemos somar a segunda linha com a terceira, desse jeito:

1 1 1 1 - 2 0 2 2 0 1 2 4 ⇒     L 3 = L 3 + L 2 = 1 1 1 1 - 2 0 3 0 0 1 2 6

E voilá. Na última linha temos que:

3 a + 0 b + 0 c = 6

Logo:

3 a = 6

a = 2

Portanto a primeira coordenada do nosso vetor 1 ,   2 ,   3   escrito na base β é:

a = 2

Alternativa (b).

Resposta

Letra (b).

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .