Considere o espaço vetorial R 4 munido do seu produto interno usual e seja B = v 1 , v 2 , v 3 , v 4 uma base de R 4 . Suponha que C = w 1 , w 2 , w 3 , w 4 seja a base ortogonal obtida a partir de B pela aplicação do processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Se v 4 = ( - 1,3 , 1,1 ) e w 4 = ( - 2,1 , 0,1 ) , então p r o j [ w 1 , w 2 , w 3 ]   v 4 é igual a:

a )   ( 1,1 , 2,1 )

b )   2,1 , 1,3

c )   ( 1,2 , 1,0 )

d )   ( - 1,2 , - 1 , - 4 )

e )   ( 0,1 , 1 , - 1 )

Passo 1

Falaaa, tranquilo?? Bora para outra questão dessa provinha, agora envolvendo Gram-Schmidt.

Esse problema é uma aplicação direta do que é o processo, se você relembrar como funciona o processo a resposta é direta, senão deixa que eu te ajudo a lembrar.

A ideia do processo é sair de uma base do espaço vetorial R 4 , B = v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , e chegar numa base ortogonal C = w 1 , w 2 , w 3 , w 4 do mesmo espaço.

Para checarmos a C , usamos o processo, que consiste em:

1 º )   w 1 = v 1

2 º )   w 2 = v 2 - p r o j w 1 ( v 2 )

3 º )   w 3 = v 3 - p r o j w 1 , w 2   v 3

4 º )   w 4 = v 4 - p r o j w 1 , w 2 , w 3   v 4  

A ideia do processo é seguir essas continhas que no final conseguimos o que temos. Se aprofundar no motivo disso funcionar é um pouco além do nosso objetivo aqui, porém existem ótimos conteúdos sobre isso no Responde Ai, caso tenha curiosidade de entender mais.

Passo 2

Levando em conta o que está nas continhas, vamos usar o quarto passo para resolver nosso problema:

w 4 = v 4 - p r o j w 1 , w 2 , w 3   v 4

Ou seja:

p r o j w 1 , w 2 , w 3   v 4 = v 4 - w 4 = - 1,3 , 1,1 - - 2,1 , 0,1

E por isso p r o j w 1 , w 2 , w 3   v 4 = ( 1,2 , 1,0 )

Chegando ao fim de mais um probleminha, esse aqui deixa bem claro que é importante entender o processo de Gram-Schmidt, uma vez que foi uma aplicação direta dele.

Resposta

Letra C

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .