Prove que se o conjunto de vetores ( u → , v → , w → ) forma uma base para o espaço, então o conjunto ( u → + v → ,   u → - v → ,   w → - 2 u → ) também forma uma base para o espaço.

Passo 1

Então, galera, o que significa algebricamente formar base para um espaço? Simples: é montar uma combinação linear com os vetores e ver que os coeficientes têm que ser todos iguais a zero! Então é isso que vamos fazer.

α u → + v → + β u → - v → + γ w → - 2 u → = 0 →

Agrupando os vetores...

α + β - 2 γ u → + α - β v → + γ w → = 0 →

Passo 2

Vamos então ver os coeficientes!

α + β - 2 γ = 0 α - β = 0 γ = 0

Da terceira equação, γ = 0 ;

Da segunda equação, α = β .

Agora é só jogar na primeira!

α + α - 2 × 0 = 0

2 α = 0

α = 0

β = 0

Como todos os coeficientes são nulos, então ( u → + v → ,   u → - v → ,   w → - 2 u → ) é base do espaço!

Resposta

u → + v → ,   u → - v → ,   w → - 2 u → é base do espaço.

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Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .