Suponha que π 1   e   π 2 são planos cuja interseção é a reta r. Sejam n 1 →   e   n 2 → vetores não-nulos tais que n 1 → ⊥ π 1 e n 2 → ⊥ π 2 , e seja v → um vetor não-nulo paralelo a r. Considere as seguintes afirmações:

  1. Os vetores v →   e   n 1 →   ⋀     n 2 → são paralelas;
  2. B = { n 1 → , n 2 → , v → } é um base ortogonal de V 3 ;
  3. Os vetores v → ,   v →   ⋀ n 1 →   e   v → ⋀   n 2 → são linearmente independentes.

Passo 1

Falaaaa, blz??? Vamos começar essa questãozinha desenhando um esboço para nos ajudar a entender o que está rolando

Nessa figura, vamos supor que π 1 é o plano horizontal (o plano roxo) e o vetor vertical é nosso n 1 → .

O outro plano (azul) é o nosso π 2 e o vetor perpendicular a ele é nosso n 2 → . O vetor que está na reta será nosso v → .

Passo 2

Vamos analisar a afirmação (I):

Primeiro vale ressaltar o que n 1 →   ⋀ n 2 → significa.

Quando fazemos o produto vetorial entre dois vetores isso nos resulta num terceiro vetor perpendicular aos outros 2.

Agora vamos olhar para a figura e notar o seguinte, nosso vetor paralelo a reta ( v → )   é perpendicular aos vetores n 1 →   e   n 2 → , logo quando fizermos o produto vetorial, que resultará num vetor perpendicular a n 1 →   e   n 2 → ele será paralelo ao nosso v → . Então a primeira afirmação está correta.

Passo 3

Agora vamos analisar a segunda afirmação.

Bom, essa alternativa é bem direta que é falsa e olhando para nossa figura fica bem fácil enxergar isso.

Para que a base mencionada seja ortogonal, os nossos vetores da base deveriam ser perpendiculares dois a dois, porém nada indica que n 1 →   e   n 2 → tenham que se perpendiculares.

Passo 4

Essa afirmação (III) é um pouco mais trabalhosa, porém não muito complexa. Vamos com calma para não gerar confusão.

Vamos lembrar que 3 vetores são linearmente independentes, quando não conseguimos escrever 1 como combinação dos outros 2, ou em termos matemáticos:

0 → =   a → x → +   y b → + z c →     só ocorre quando a = b = c = 0

Então vamos lá. Para os 3 vetores citados serem L.I, temos que:

0 → = α v → + β ( v →   ⋀     n 1 → ) +   γ ( v →   ⋀     n 2 → )

Queremos achar que α = β = γ = 0

Vamos correr atrás disso, então:

Multiplicando (fazendo produto escalar) da equação por v →

0 → = α v → ∙ v → + β ( v →   ⋀     n 1 → ) ∙ v → +   γ ( v →   ⋀     n 2 → ) ∙ v →

Como ( v →   ⋀     n 1 → ) e ( v →   ⋀     n 2 → ) são perpendiculares a v → , temos que

β ( v →   ⋀     n 1 → ) ∙ v → +   γ ( v →   ⋀     n 2 → ) ∙ v → =   0

Logo

0 → = α v → ∙ v → = α   v → 2

Como v →   ≠ 0 →   t e m o s   q u e   α = 0

Uhuuul! Achamos α ! Bora achar os outros...

Passo 5

Então como α = 0 , ficamos com:

β ( v →   ⋀     n 1 → ) +   γ ( v →   ⋀     n 2 → ) = 0 →

Fazendo a mesma ideia (multiplicar a equação), porém fazendo o produto escalar com   n 2 → :

β ( v →   ⋀     n 1 → ) ∙   n 2 → +   γ ( v →   ⋀     n 2 → ) ∙   n 2 → = 0 → ∙   n 2 → = 0 →

Como ( v →   ⋀     n 2 → ) é perpendicular a n 2 →   ,   t e m o s   q u e   ( v →   ⋀     n 2 → ) ∙   n 2 → = 0

Então ficamos com:

β ( v →   ⋀     n 1 → ) ∙   n 2 → = 0 →

Nesse caso tiramos que β = 0 , uma vez que o produto misto de 3 vetores é zero em 3 situações:

  • um deles é nulo
  • dois deles são colineares
  • se os 3 são coplanares

e nenhuma delas é verdade aqui! Então β = 0

Passo 6

Por fim, nos resta que γ ( v →   ⋀     n 2 → ) = 0

Daqui tiramos que γ = 0 , pois um produto vetorial só é nulo quando algum dos vetores é nulo ou se os vetores não são L.I.

Como v →   e   n 2 → são L.I e diferentes do vetor nulo, então v →   ⋀     n 2 → ≠ 0 . Então, concluímos que

γ = 0

Logo α = β = γ = 0 , que era o que estávamos buscando :)

Resposta

Letra A

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .