Considere as afirmações abaixo:

(I) 1,2 , 3 , 0,4 , 5 , 0,0 , 6 é gerador de R 3 .

(II) { 1,1 , 1 , 1,2 , 3 , 1,1 , 4 } é uma base de R 3 .

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Passo 1

(I) Como o nome diz, um conjunto gerador de um espaço é capaz de gerar todos os vetores daquele espaço.

Como foi dado um conjunto com 3 vetores do R 3 , para que os 3 consigam gerar todo esse espaço eles devem ser linearmente independentes.

Se colocarmos esses 3 vetores numa matriz e tentarmos escalonar ela:

Vemos que essa matriz já está na forma escalonada (triangular superior) e nenhuma linha fica zerada.

Então os 3 vetores dados são linearmente independentes e são geradores do R 3 .

A afirmação (I) é verdadeira.

Passo 2

(II) Agora temos ainda um conjunto de 3 vetores do R 3 , mas queremos ver se ele é base.

Pra um conjunto ser base de um espaço, ele deve:

  • Ser gerador do espaço
  • Ser linearmente independente

Vamos ver se o conjunto é LI da mesma forma que falamos antes, ou seja, colocando os vetores nas linhas de uma matriz e escalonando:

L 2 ← L 2 - L 1

L 3 ← L 3 - L 1

Como nenhuma linha zerou, os 3 são LI!

Isso significa que com os 3 vetores dados eu consigo gerar todo R 3 , então eles formam base para esse espaço.

A afirmação II também é verdadeira.

Resposta

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que u → = 0 ⇔ u → = 0 ,0 ,0 E .