01) Considere o espaço vetorial R 3 munido de um produto interno ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ com respeito ao qual a base:

B = { 1,0 , 1 ,   0,1 , 1 ,   0,1 , 0 }

seja ortonormal. Temos que ⟨ 1,2 , 3 ,   1,2 , 3 ⟩ é igual a:

a) 6 ;

b) 35 ;

c) 14 ;

d) 1 ;

e) 5 ;

Passo 1

Faaaala galerinha, tudo certo com vocês?

Nessa questão temos um certo produto vetorial, cuja definição não é informada, no R 3 . É falado apenas que a base:

B = { 1,0 , 1 ,   0,1 , 1 ,   0,1 , 0 }

é ortonormal ao produto interno. O objetivo é determinar quanto vale 1,2 , 3 ,   1,2 , 3 , beleza?

O problema todo é que não temos a definição desse produto interno. Será que realmente precisamos conhecê-la pra conseguir calcular 1,2 , 3 ,   1,2 , 3 ou tem um truquezinho?

Passo 2

Bom, antes de respondermos essa pergunta, vamos pensar nas informações que temos.

Sabemos que B é uma base ortonormal, isso significa que o produto entre dois vetores diferentes dessa base é nulo, mas que o produto interno de um mesmo vetor vale 1 . Ou seja:

1,0 , 1 , 1,0 , 1 = 1 0,1 , 1 , 0,1 , 1 = 1 0,1 , 0 ,   0,1 , 0 = 1 0,1 , 1 , 0,1 , 0 = 0 1,0 , 1 , 0,1 , 0 = 0 1,0 , 1 , 0,1 , 1 = 0

Massa!

Agora pensa comigo, pra usar essas informações sem precisar da definição do produto interno, podemos escrever ( 1,2 , 3 ) como uma combinação linear da base B . Daí:

1,2 , 3 = a 1,0 , 1 + b 0,1 , 1 + c ( 0,1 , 0 )

1,2 , 3 = ( a ,   b + c ,   a + b )

Logo:

a = 1 b = 2 c = 0

Ou seja:

1,2 , 3 = 1 ⋅ 1,0 , 1 + 2 ⋅ ( 0,1 , 1 )

Pegaram a ideia?

Passo 3

Pra finalizar, é só substituirmos essa expressão no cálculo do produto interno:

1,2 , 3 ,   1,2 , 3 = ⟨ 1 ⋅ 1,0 , 1 + 2 ⋅ 0,1 , 1 , 1 ⋅ 1,0 , 1 + 2 ⋅ 0,1 , 1 ⟩

Ok! Mas como podemos calcular isso?

É só lembrar dos axiomas da homogeneidade, aditividade e simetria (que valem pra qualquer produto interno). Eles dizem que:

- Homogeneidade:

λ u ,   v = λ ⟨ u , v ⟩

- Aditividade:

u + v ,   w = u , w + ⟨ v , w ⟩

- Simetria:

u , v = ⟨ v , u ⟩

Show! Usando essas ideias na nossa expressão, temos que

1,2 , 3 ,   1,2 , 3 = 1 ⋅ 1,0 , 1 , 1,0 , 1 + 2 2 ⋅ 0,1 , 1 , 0,1 , 1 + 4 ⋅ 1,0 , 1 ,   0,1 , 1  

Excelente! Daí, lembrando que:

1,0 , 1 , 1,0 , 1 = 1 0,1 , 1 , 0,1 , 1 = 1 1,0 , 1 ,   0,1 , 1 = 0

Temos:

1,2 , 3 ,   1,2 , 3 = 1 ⋅ 1 + 2 2 ⋅ 1

1,2 , 3 ,   1,2 , 3 = 5

Aeee, é isso galera!

Conseguiram entender bem essa ideia? Nem sempre precisamos conhecer a definição de um produto interno pra calcular o produto interno de um vetor 😊

Obrigado pela atenção gente, até a próxima 😉

Resposta

Letra E: 5 .

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .