Os vetores v 1 → = ( 1 ,   2 ,   3 ) , v 2 → = ( 3 ,   2 ,   1 ) e v 3 → = ( 2 ,   3 ,   1 ) geram o vetor v 4 → = ( 7 ,   7 ,   10 ) através de uma combinação linear:

I - Existe outra combinação linear de v 1 → , v 2 →   e   v 3 → que gera v 4 →

II - Qualquer vetor ( a ,   b ,   c ) pode ser gerado por v 1 → , v 2 →   e   v 3 →

(a) I é verdadeira e II é falsa

(b) Ambas são verdadeiras

(c) I é falsa e II é verdadeira

(d) Ambas são falsas

Passo 1

I - Existe outra combinação linear de v 1 → , v 2 →   e   v 3 → que gera v 4 →

Para que exista mais de uma combinação linear desses vetores que gere o v 4 → é preciso que eles formem um conjunto L D .

Vamos verificar a dependência linear desses vetores os botando nas linhas de uma matriz e a escalonando:

1 2 3 3 2 1 2 3 1 → L 2 → L 2 - 3 L 1 L 3 → L 3 - 2 L 1 1 2 3 0 - 4 - 8 0 - 1 - 5 → L 3 ↔ L 2 1 2 3 0 - 1 - 5 0 - 4 - 8 → L 3 → L 3 - 4 L 2 1 2 3 0 - 1 - 5 0 0 12

Não zerou nenhuma linha logo esse conjunto é L I e só há uma forma de representar o vetor v 4 → como C L   dele.

Assim, a primeira afirmativa é falsa!

Passo 2

II - Qualquer vetor ( a ,   b ,   c ) pode ser gerado por v 1 → , v 2 →   e   v 3 →

Bom, eu vou conseguir escrever qualquer vetor de 3 coordenadas (do R 3 ) como combinação desses vetores se eles forem uma base do R 3 .

Beleza, e como eu sei se esses vetores formam uma base para o R 3 ??

Para ser base do R 3 preciso que o conjunto seja L I   e tenha 3 vetores, exatamente o que eu tenho!!

Logo, v 1 → , v 2 → , v 3 → é base do R 3 e consigo escrever qualquer vetor ( a , b , c ) como C L deles.

Resposta

c

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que u → = 0 ⇔ u → = 0 ,0 ,0 E .