Seja ϵ   uma base ortonormal de V 3 e considere os vetores:

v → = 1 , - 1,1 ϵ ,     w → = - 1,1 , 1 ϵ ,     z → = 1,2 , - 1 ϵ

Se a , b , c ∈ R são tais que o vetor x → = a , b , c ϵ é ortogonal a v → e w → e se p r o j z →   x →   =     z → , então a + b + c é igual a:

  1. 2 6
  2. 4
  3. 3
  4. 0
  5. -1.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquilebas? Espero que sim! Bora lá, Responder Aí essa questão.

Para começo, temos que montar alguma sistema para acharmos o valor de a,b,c , certo?!

Bom, sabemos que o vetor x → é ortogonal a w → e v → , então nós sabemos que o produto interno convencional entre eles é nulo, ok? Ou seja:

x → ∙ w → = 0

x → ∙ v → = 0

E também que a projeção de x em z é igual a z , ou seja:

p r o j z →   x → = x → ∙ z → z 2     z → = z →

Isso já é informação suficiente para acharmos o nosso resultado

Então bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Assim:

x → ∙ w → = 0 → a - b + c = 0

x → ∙ v → = 0 → - a + b + c = 0

E:

p r o j z →   x → = x → ∙ z → z 2     z → = z → → a , b , c ∙ 1,2 , - 1 1 + 4 + 1 1,2 , - 1 = 1,2 , - 1

a + 2 b , - c 6   1,2 , - 1 = 1,2 , - 1 →   a + 2 b , - c = 6    

Assim, ao final, temos o sistema:

a - b + c = 0

- a + b + c = 0

a + 2 b - c = 6

Passo 3

Da soma das duas primeiras, concluímos que c = 0 e a = b .

Da última então concluímos que:

a + 2 a - 0 = 6 → a = 2

Logo a = b = 2 , e c = 0 . Logo a soma a + b + c = 2 + 2 + 0 = 4

Onde nos resta o item b

Resposta

Letra b

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Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .