Seja V um espaço vetorial de dimensão n ≥ 1 ,   e seja B = v 1 , … ,   v k   um subconjunto de V contendo k vetores distintos. Considere as seguintes afirmações:

I .   Se V = B ,   então, necessariamente, k = n

I I . Se B é linearmente independente e k = n , então B é base de V

I I I . Se v 1 , … , v k - 1 é base de um subespaço vetorial W   d e   V e v k ∉ W , então B é linearmente independente.

Está correto apenas o que se afirma em

a )   I   e   I I

b )   I

c )   I   e   I I I

d )   I I

e )   I I   e   I I I

Passo 1

Falaaa, blz? Bora para o último problema dessa prova. Vamos analisar as alternativas de forma separada.

I .   Se V = B ,   então, necessariamente, k = n

Bom, essa afirmação é falsa, ela tenta induzir a gente naquela ideia de que se V = [ B ] , ou seja, V é gerado pelos vetores de B, então B é uma base de V, porém isso não necessariamente é verdade. Bora ver um exemplo disso

V = R 3   e   B = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1 , ( 1,1 , 1 )

Aqui, conseguimos ver que B gera V, uma vez que qualquer vetor de R 3 pode ser escrito como combinação de caras de B ( v = a 1,0 , 0 + b 0,1 , 0 + c 0,0 , 1 + 0 1,1 , 1 ) , porém n = 3 ≠ 4 = k , logo a afirmação é falsa.

A afirmação é uma pegadinha, mas a gente conseguiu sair dela

Passo 2

Agora vamos para a outra afirmação:

I I . Se B é linearmente independente e k = n , então B é base de V

Essa afirmação é verdadeira, é basicamente a definição de base.

Pois para B ser base, todos vetores de B devem ser linearmente independentes e B deve gerar V. Mas para um conjunto de vetores L.I gerar um espaço, a dimensão do espaço deve ser igual a quantidade de vetores L.I, ou seja, k = n . Logo a afirmação é verdadeira

Passo 3

E bora para a última afirmação...

I I I . Se v 1 , … , v k - 1 é base de um subespaço vetorial W   d e   V e v k ∉ W , então B é linearmente independente.

Bom, essa afirmação é verdadeira, bora entender o motivo

Quando ela nos diz que v 1 , … , v k - 1 é base de W, podemos afirmar que v 1 , … , v k - 1 é L.I

E quando a afirmação nos diz que v k ∉ W isso quer dizer que v k não pode ser escrito como combinação linear de v 1 , … , v k - 1 , pois como v 1 , … , v k - 1 é base de W, todo vetor de W é escrito como combinação linear desse conjuntinho.

Agora, esse conceito lembra algo? Um vetor não conseguir ser escrito como combinação de outros, quer dizer que esse cara é L.I com os outros... Então podemos falar que v 1 , … ,   v k é L.I

Resposta

Letra E

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .