Seja V um espaço vetorial de dimensão 2 e S = { v 1 → ,   v 2 → ,   v 3 → } um conjunto gerador de V , com todos os vetores distintos entre si.

Sejam A = { v 1 → ,   v 2 → } e B = { v 2 → ,   v 3 → } e C = { v 1 → ,   v 3 → } .

Assinale a alternativa FALSA:

( a ) A ,   B e C podem todos ser bases de V

( b ) A ,   B e C podem todos ser conjuntos geradores de V

( c ) A ,   B e C podem todos ser conjuntos linearmente independentes ( L I )

( d ) A ,   B e C podem todos ser conjuntos linearmente dependentes ( L D )

Passo 1

Vamos avaliar a letra ( a ) .

A ,   B e C têm todos dimensão 2 , pois possuem dois vetores cada.

Como V também tem dimensão 2 , todos podem ser bases!

É verdadeira então.

Passo 2

Na letra ( b ) , está dito que todos podem ser conjuntos geradores.

Será que podem mesmo?

Bom, sabemos que V tem dimensão 2 , então se eles forem bases de V , eles automaticamente gerarão V , e serão conjunto geradores.

Então também é verdade.

Passo 3

A letra ( c ) diz que podem ser todos L I .

Bom, já vimos que todos podem ser bases!

E toda base é um conjunto é L I , não é mesmo?

Então todos podem ser conjuntos LI!

:P

Passo 4

Já na letra ( d ) , a afirmação é que podem ser todos conjuntos L D !

Pô, tanto A quanto B quanto C tem dois vetores.

  • Se A for L D , quer dizer que os vetores v 1 → e v 2 → são múltiplos!
  • Se B for L D , quer dizer que os vetores v 2 → e v 3 → são múltiplos!
  • E se C fo L D , quer dizer que os vetores v 1 → e v 3 → são múltiplos!!!!!!

Ou seja...se todos forem L D , todos são múltiplos um do outro!

Mas e aí?

E aí que se todos forem múltiplos um do outro, todos são combinações lineares um do outro, e a base de V terá apenas um vetor.

E não pode, porque a V tem dimensão 2 , então sua base tem que ter DOIS vetores!

Então essa é que é a falsa.

Resposta

Letra ( d )

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Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que u → = 0 ⇔ u → = 0 ,0 ,0 E .