Considere fixada uma orientação em V 3 , e seja β uma base ortonormal positiva de V 3 . Considere os vetores

v = 1,2 , 0 β

w = 1,0 , 1 β

Sabendo que

- u ∈ V 3 é ortogonal a v e a w

- u = 3

- { u , v , w } é uma base positiva de V 3

Se u = a , b , c β então a + b + c é igual a

Passo 1

E aí gente, belezura?

Vamos lá entender esse exercício. Ele nos deu 3 vetores:

v = 1,2 , 0 β

w = 1,0 , 1 β

u = a , b , c β

E quem queremos descobrir? Justamente essas coordenadas a , b , c do vetor u

Para isso, ele nos deu algumas pistas. Vamos interpretar cada uma delas:

- u é ortogonal a v e w → os produtos escalares ⟨ u , v ⟩ e ⟨ u , w ⟩ valem 0

- u = 3 , esse é o módulo do vetor u , então: a 2 + b 2 + c ² = 3

- { u , v , w } é uma base positiva. Então além de serem vetores LI, se colocarmos esses vetores nas linhas de uma matriz, o determinante vai ser positivo

Então boraaa lá usar essas informações ao nosso favor

Passo 2

Vamos começar pela primeira pista: u é ortogonal a v e a w

Então, temos

u , v = 0

a , b , c . 1,2 , 0 = 0

a + 2 b = 0

a = - 2 b   ( 1 )

E também sabemos que:

u , w = 0

a , b , c . 1,0 , 1 = 0

a + c = 0

a = - c   ( 2 )

Igualando ( 1 ) e ( 2 ) , temos

a = - 2 b = - c

Passo 3

Agora vamos para a segunda pista: o módulo do vetor u vale 3

O módulo de um vetor u = ( a , b , c ) é dado por

u = a 2 + b 2 + c 2

Portanto:

a 2 + b 2 + c 2 = 3

a 2 + b 2 + c 2 = 9

Do passo 2, sabemos que a = - 2 b e c = 2 b . Então, substituindo:

- 2 b 2 + b 2 + 2 b 2 = 9

4 b 2 + b 2 + 4 b 2 = 9

9 b 2 = 9

b 2 = 1

b = ± 1

Opa, mas e aí como a gente sabe se o b vai valer + 1 ou - 1 ?

Vamos partir para a terceira e última pista!

Passo 4

Se { a , b , c , 1,2 , 0 , ( 1,0 , 1 ) } é uma base positiva, o determinante dessa matriz tem que ser maior do que 0 :

a b c 1 2 0 1 0 1

Calculando o determinante:

a b c 1 2 0 1 0 1 a b 1 2 1 0 = 2 a - 2 c - b > 0

Substituindo a = - 2 b e c = 2 b (lá do passo 2), temos que

2 ∙ - 2 b - 2 ∙ 2 b - b > 0

- 4 b - 4 b - b > 0

- 9 b > 0

Multiplicando os dois lados por ( - 1 ) , lembrando que isso troca o sinal:

9 b < 0

Então:

b < 0

Passo 5

Do passo 3, temos que

b = ± 1

E do passo 4, temos que

b < 0

Portanto, o b tem que ser negativo:

b = - 1

E substituindo para a = - 2 b e c = 2 b :

a = - 2 ∙ - 1 = 2

c = 2 ∙ - 1 = - 2

Logo, as coordenadas do vetor u são:

u = a , b , c = 2 , - 1 , - 2

E a soma delas vai ser

a + b + c = 2 - 1 - 2 = - 1

E é issoooo

Resposta

a + b + c = - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .