Considere o espaço vetorial M 2 × 2 R , e os subconjuntos

W 1 = a b c d ∈ M 2 × 2 R ; a = c   e   b . d = 0

W 2 = a b c d ∈ M 2 × 2 R ; a + b - c + 2 d = 0   e   b + c = 0

a Verifique se W 1 é subespaço de V .

b Verifique se W 2 é subespaço de V , determine uma base para W 2 .

Passo 1

a Vamos lá, pra W 1 ser subespaço de V , precisamos que ele seja fechado para soma, para o produto por escalar e contenha o elemento nulo.

Bom, a matriz 0 0 0 0 respeita todas as regras, então W 1 contém o elemento nulo.

Mas repara que ele não é fechado para a soma! Se liga nessas duas matrizes por exemplo:

a 1 b 1 a 1 0   e   a 2 0 a 2 d 2

Concorda que ambas fazem parte de W 1 ? Elas têm a = c e o produto b . d = 0 . Mas se somarmos elas temos:

a 1 + a 2 b 1 a 1 + a 2 d 2

Opa, o produto b . d agora deixou de ser zero e passo a ser b 1 . d 2 ! Então W 1 não é fechado para soma e portanto não é um subespaço de V .

Passo 2

b Vamos fazer os mesmos testes para W 2 . Ele contém o elemento nulo pois a matriz 0 0 0 0 satisfaz todas as exigências de W 2 . Vamos desenvolver um pouco agora as equações de W 2 :

a + b - c + 2 d = 0 b + c = 0       I I I

De I I temos:

b = - c

Substituindo em I :

a - 2 c + 2 d = 0

a = 2 c - 2 d

Jogando esses valores na matriz geral a b c d , temos:

2 c - 2 d - c c d

Passo 3

Beleza, vamos verificar usando essa matriz geral de W 2 se ele é fechado para a soma e produto por escalar. Primeiro para a soma:

2 c 1 - 2 d 1 - c 1 c 1 d 1 + 2 c 2 - 2 d 2 - c 2 c 2 d 2 = 2 c 1 - 2 d 1 + 2 c 2 - 2 d 2 - c 1 - c 2 c 1 + c 2 d 1 + d 2

Precisamos que:

a + b - c + 2 d = 0

2 c 1 - 2 d 1 + 2 c 2 - 2 d 2 + - c 1 - c 2 - c 1 + c 2 + 2 d 1 + d 2 = 0

2 c 1 - 2 d 1 + 2 c 2 - 2 d 2 - 2 c 1 - 2 c 2 + 2 d 1 + 2 d 2 = 0

0 = 0

b + c = 0

- c 1 - c 2 + c 1 + c 2 = 0

0 = 0

Certinho, agora vamos ver se é fechado para o produto por escalar:

λ 2 c - 2 d - c c d = λ ( 2 c - 2 d ) - λ c λ c λ d

Precisamos que:

a + b - c + 2 d = 0

λ ( 2 c - 2 d ) - λ c - λ c + 2 λ d = 0

λ 2 c - 2 d - c - c + 2 d = 0

0 = 0

b + c = 0

- λ c + λ c = 0

0 = 0

Fechou então, W 2 cumpre todos os requisitos, então ele é um subespaço! Agora precisamos de uma base pra ele.

Passo 4

Vamos pegar aquela matriz geral de W 2 e “quebrar” ela:

2 c - 2 d - c c d = c 2 - 1 1 0 + d - 2 0 0 1

Os dois vetores são L I pois não são múltiplos, logo uma base para W 2 é:

β = 2 - 1 1 0 , - 2 0 0 1

Fim de papo.

Resposta

a Não.

b Sim. β = 2 - 1 1 0 , - 2 0 0 1

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que u → = 0 ⇔ u → = 0 ,0 ,0 E .