A única afirmativa verdadeira é:

( a ) Se um conjunto é linearmente dependente então ele gera o espaço inteiro.

( b ) Todo subconjunto de um conjunto linearmente dependente é linearmente dependente.

( c ) Nenhum conjunto linearmente independente gera o espaço inteiro.

( d ) Todo subconjunto de um conjunto linearmente independente é linearmente independente.

Passo 1

Vamos pensar!

A ( a ) e a ( c ) falam de “gerar o espaço inteiro”.

Esse termo é meio confuso! Mas é justamente o que complica na hora de pensar.

Gerar o espaço inteiro é tipo um conjunto de n   vetores que gera todo o R n .

Ou seja, aqueles n vetores geram o espaço do R n inteiro.

Ora, mas você já conhece esse tipo de conjunto, são as bases!

Além de as bases serem os vetores que “geram o espaço inteiro”, sabemos que elas têm que ser L I . Não existe base L D , e por isso descartamos a letra ( a ) .

A letra ( c ) diz basicamente que não existem bases, (ou seja, não existem conjuntos LI que gerem o espaço inteiro. Mas as bases geram!)

Como sabemos que existem esses conjuntos e que são as bases, as duas são falsas.

Passo 2

A letra ( b ) fala que se um conjunto é L D , então todos os seus subconjuntos também são.

Será que isso é verdade?

Não! Sempre que tiramos um vetor que forma um conjunto L D , em algum momento ele vai ser L I .

Por exemplo, o conjunto 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   2 é L D porque o vetor nulo está lá.

Mas se eu tirar o vetor nulo, ele vira L I !

1 ,   1 ,   1 ,   2

É falsa.

Passo 3

Ora, se um conjunto é L I , nenhum dos seus vetores é combinação linear do outro.

Se tirarmos qualquer vetor, isso vai continuar acontecendo!

Afinal os vetores que sobraram já estavam ali antes e já não eram combinação linear um do outro! Ou seja, se eu tiro vetores de um conjunto L I , ele continua L I (já se eu acrescentar talvez isso não aconteça).

Logo a ( d ) é verdadeira.

Resposta

Letra ( d )

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que u → = 0 ⇔ u → = 0 ,0 ,0 E .