Sejam { v 1 → ,   v 2 → ,   v 3 → } uma base de G e w →   ∈ G .

(I) O vetor w →   necessariamente pertence a um dos planos < v 1 → ,   v 2 → > ,   < v 2 → ,   v 3 → > ou < v 1 → ,   v 3 → > .

(II) Se { w → ,   v 1 → ,   v 2 → } e { w → ,   v 1 → ,   v 3 → } são LI, então { w → ,   v 2 → ,   v 3 → } é LD.

(a) I é verdadeira e II é verdadeira.

(b) I é falsa e II é falsa.

(c) I é verdadeira e II é falsa.

(d) I é falsa e II é verdadeira.

Passo 1

(I) O vetor w →   necessariamente pertence a um dos planos < v 1 → ,   v 2 → > ,   < v 2 → ,   v 3 → > ou < v 1 → ,   v 3 → > .

O vetor w → pertencer a um dos planos significa que ele é uma combinação linear dos vetores desse plano.

Porém, w → pode ser uma combinação linear do espaço gerado pelos três vetores simultaneamente, ou seja, w → ∈   < v 1 → ,   v 2 → ,   v 3 → > .

Então essa afirmação é falsa, pois não necessariamente w →   está em um desses planos.

Passo 2

(II) Se { w → ,   v 1 → ,   v 2 → } e { w → ,   v 1 → ,   v 3 → } são LI, então { w → ,   v 2 → ,   v 3 → } é LD.

Aqui o raciocínio é parecido com o de antes.

No primeiro caso, w → ,   v 1 → ,   v 2 → ser LI significa que w →   não é CL de v 1 → ,   v 2 → . A mesma coisa pro segundo conjunto.

Mas reparem que podemos ter w → ,   v 1 → ,   v 2 → LI, { w → ,   v 1 → ,   v 3 → } LI e w → ,   v 2 → ,   v 3 → também LI se w →   for uma CL dos três vetores simultaneamente.

Então, o conjunto w → ,   v 2 → ,   v 3 → não é obrigatoriamente LD se os dois primeiros forem LI e essa alternativa também é falsa.

Resposta

(b) I é falsa e II é falsa.

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que u → = 0 ⇔ u → = 0 ,0 ,0 E .