Sejam n um inteiro positivo e 𝑉     um espaço vetorial real de dimensĂŁo 𝑛   munido de um produto interno. Sejam đ”   e   đ¶ bases de 𝑉   e   𝑀   ∈   𝑀 𝑛 𝑅 a matriz tal que 𝑀 𝑣 đ” = 𝑣 đ¶ para todo 𝑣   ∈   𝑉   . Pode-se afirmar que:

(a) se as bases đ”   e   đ¶ forem ortonormais, entĂŁo a transposta da matriz 𝑀   serĂĄ igual a − 𝑀  

(b) se as bases đ”   e   đ¶ forem ortonormais, entĂŁo a transposta da matriz 𝑀   serĂĄ igual Ă  inversa de 𝑀  

(c) se as bases đ”   e   đ¶ forem ortogonais, ent ̃ao a transposta da matriz 𝑀   serĂĄ igual a − 𝑀  

(d) se as bases đ”   e   đ¶ forem ortogonais, entĂŁo a transposta da matriz 𝑀   serĂĄ igual Ă  inversa de   𝑀  

(e) se as bases đ”   e   đ¶ forem ortonormais, entĂŁo a transposta da matriz 𝑀   serĂĄ igual a 𝑀  

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocĂȘs? Vamos para mais uma questĂŁo de Algelin. Nosso objetivo Ă© verificar qual a relação entre 𝑀   e sua transposta. EntĂŁo vamos lĂĄ.

Vamos, primeiro, supor que as bases đ”   e   đ¶ sĂŁo ortogonais, essa Ă© a hipĂłtese das alternativas c) e d). Mas o que isso significa ser ortogonal mesmo? Vamos revisar!

Dizemos que uma base Ă© ortogonal se os vetores que formam essa base sĂŁo perpendiculares dois a dois, isso Ă©:

Se 𝑣 𝑖   ,   𝑣 𝑗   ∈ đ”   ⇒   < 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 >   =   0   s e   𝑖 ≠ 𝑗

Agora, vamos analisar o que a matriz 𝑀   estĂĄ fazendo.

𝑀 𝑣 đ” = 𝑣 đ¶

Ou seja 𝑀   Ă© uma matriz que leva os vetores da base đ¶   para a base đ”   . Uma matriz de mudança de base.

Passo 2

Bem, agora que revisamos o significado de base ortogonal, e vimos que a matriz 𝑀  

Ă© uma matriz de mudança de base, vamos utilizar o fato que esses espaços vetoriais tem produto interno para obtermos alguma relação sobre 𝑀  

< 𝑀 𝑣 1 đ” , 𝑀 𝑣 2 đ” >   =   < 𝑣 1 đ¶ , 𝑣 2 đ¶ >

Como estamos supondo que as bases são ortogonais (fizemos essa suposição no passo 2)

Então para quaisquer 𝑣 1   𝑒   𝑣 2

  < 𝑣 1 đ¶ , 𝑣 2 đ¶ >     =   0

entĂŁo

(pela definição de M)

< 𝑀 𝑣 1 đ” , 𝑀 𝑣 2 đ” >   =   0

(passando a matriz para o outro lado)

< 𝑀 𝑣 1 đ” , 𝑀 𝑣 2 đ” >   = < 𝑣 1 đ” , 𝑀 𝑇 𝑀 𝑣 2 đ” >   =   0

Disso podemos observar que a matriz 𝑀 𝑇 𝑀

pega 𝑣 2 đ”

vetor da base đ”   e joga em um vetor que Ă© ortogonal a 𝑣 1 đ” , mas essa relação serĂĄ verdadeira para qualquer 𝑣 𝑖 đ”   c o m   𝑖 ≠ 2

, isto Ă©:

< 𝑀 𝑣 𝑖 đ” , 𝑀 𝑣 2 đ” >   = < 𝑣 𝑖 đ” , 𝑀 𝑇 𝑀 𝑣 2 đ” >   =   0

  c o m   𝑖 ≠ 2

Bacana né?

Passo 3

O que conseguimos obter até o momento foi a seguinte relação

< 𝑀 𝑣 𝑖 đ” , 𝑀 𝑣 2 đ” >   = < 𝑣 𝑖 đ” , 𝑀 𝑇 𝑀 𝑣 2 đ” >   =   0

  c o m   𝑖 ≠ 2

Onde supomos que as bases   đ”   e   đ¶

sĂŁo ortogonais.

Mas o que essa relação nos diz? Serå que conseguimos extrair alguma informação dela? Vamos pensar!!

Bem essa relação diz que   𝑀 𝑇 𝑀

pega o vetor 𝑣 2 đ”

e retorna um vetor que Ă© ortogonal a TODOS os demais vetores da base. E isso implica que   𝑀 𝑇 𝑀

retorna um vetor mĂșltiplo de 𝑣 2 đ”

, jĂĄ que 𝑣 2 đ”

Ă© um vetor da base de đ”  

.

E com um argumento similar, podemos mostrar que:

  𝑀 𝑇 𝑀 𝑣 𝑖 đ”   =   𝑘 𝑣 𝑖 đ”

Infelizmente, só podemos chegar até aqui com a suposição de que as bases são ortogonais.

Passo 4

No passo anterior, vimos que se as bases đ”   e   đ¶

fossem ortogonais entĂŁo

  𝑀 𝑇 𝑀 𝑣 𝑖 đ”   =   𝑘 𝑣 𝑖 đ”

Vamos adicionar uma hipĂłtese, vamos supor que os vetores das bases tem norma um, ou seja, as bases sĂŁo ORTONORMAIS.

Adicionando essa hipótese, ganhamos a seguinte relação:

  < 𝑣 1 đ¶ , 𝑣 1 đ¶ >     =   1

Ou seja:

< 𝑣 1 đ” , 𝑀 𝑇 𝑀 𝑣 1 đ” >   =   1

EntĂŁo usando o resultado do passo anterior

< 𝑣 1 đ” , 𝑘 𝑣 1 đ” >   =   1

Como adicionamos a hipĂłtese dos vetores da base terem norma 1

⇒ 𝑘   =   1  

Isso implica que

  𝑀 𝑇 𝑀   =   đŒ

Logo 𝑀  

Ă© um operador ortogonal

E com isso chegamos ao fim de mais uma questĂŁo de algelin 😊. Espero que os passos tenham ficado claros. AtĂ© a prĂłxima!!!

Resposta

b)

ExercĂ­cios de Livros Relacionados

Demonstrar que Ă© L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,
 ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a Ă© um nĂșmero arbitrĂĄrio.
Quais dos conjuntos de vetores dados sĂŁo bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados sĂŁo bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .