Considere no espaço E 3 um prisma com faces triangulares A B C e D E F , em que A D , B E   e   C F são arestas desse prisma, como ilustrado na figura abaixo:

Seja P o ponto do segmento C F tal que C P → = 5 P F → . A soma das coordenadas do vetor D P → na base A B → , A C → , A F → é igual a:

a ) - 1 6 ;  

b ) 1 6

c )   0

d ) 4 3 ;  

e )   1

Passo 1

Falaaaaaa, bllzz? Bora lá para a última questãozinha dessa provinha.

A ideia dessa questão é escrever o vetor D P → como combinação linear de A B → , A C → , A F → .

Aqui, podemos começar, por exemplo, falando que D P → = D F → + F P → e agora manipular esses vetores da direita até chegarmos em algo que queremos.

Passo 2

Vamos lá, primeiro pensando em D F → .

Como podemos relacionar D F → com caras de A B → , A C → , A F → ?

Se olharmos a figura conseguimos ver que D F → = A C → , ou seja, relacionar D F →   com elementos da base dada foi relativamente tranquilo, agora bora olhar o outro vetor.

Temos que relacionar F P → com elementos da base.

Bom, o enunciado nos passa informações sobre a proporção relacionada com o ponto P e os pontos C e F. Bora tentar usar isso.

Vejamos que F P → = - P F →

Pelo enunciado, temos que P F → = 1 5 C P → , ou seja:

F P → = - P F → = - 1 5 C P →

Porém, como C F → = C P → + P F → , usando as informações do enunciado, temos que:

C F → = 5 P F → + P F → = 6 P F →

Analogamente, usando que P F → = - F P → temos que C F → = -   6 F P →

Ou seja:

  F P → = - 1 6   C F →

Além disso C F → =   C A → + A F → , logo:

F P → = - 1 6 C A → + A F → = 1 6 A C → - A F →

Passo 3

Vamos organizar tudo, pois temos que:

D F → = A C →

F P → = 1 6 A C → - A F →

Ou seja, conseguimos o que queríamos, relacionamos os carinhas com os vetores da base, bora voltar para o começo:

Como temos:

D P → = D F → + F P →

Podemos substituir por:

D P → = A C → + 1 6 A C → - A F →

Ficando com

D P → = 0 A B → + 7 6 A C → - 1 6 A F →

Ou seja: D P → = 0 , 7 6 ,   - 1 6 B

Onde B é a base dada.

Por isso, a soma das coordenadas é 7 6 - 1 6 = 1 . Dando, portanto, o gabarito para o problema.

Resposta

Letra E

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .